Страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

216 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

а) Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, то есть $\angle 1 = \angle 2$.

Проведём биссектрисы $m$ и $n$ углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Биссектриса $m$ делит $\angle 1$ на два равных угла, а биссектриса $n$ делит $\angle 2$ на два равных угла. Рассмотрим углы, которые эти биссектрисы образуют с секущей $c$. Обозначим их $\angle 3$ и $\angle 4$. Тогда $\angle 3 = \frac{1}{2}\angle 1$ и $\angle 4 = \frac{1}{2}\angle 2$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются накрест лежащими для прямых $m$ и $n$ и секущей $c$. Поскольку $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2$, следовательно, $\angle 3 = \angle 4$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Так как $\angle 3 = \angle 4$, то прямые $m$ и $n$ параллельны. Таким образом, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара односторонних углов. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Проведём биссектрисы $m$ и $n$ углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $C$. Пусть секущая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Рассмотрим треугольник $ABC$, сторонами которого являются биссектрисы $AC$ и $BC$ и отрезок секущей $AB$.

По определению биссектрисы, углы $\angle CAB$ и $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$ равны половинам углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно: $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle 1$ и $\angle CBA = \frac{1}{2}\angle 2$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle CAB$ и $\angle CBA$:

$\frac{1}{2}\angle 1 + \frac{1}{2}\angle 2 + \angle ACB = 180^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle 1 + \angle 2) + \angle ACB = 180^\circ$

Мы знаем, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle ACB = 180^\circ$

$90^\circ + \angle ACB = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle ACB$, который является углом между биссектрисами:

$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между биссектрисами односторонних углов равен $90^\circ$, эти биссектрисы перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

217 Прямые, содержащие высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника ABC, пересекаются в точке H, угол В — тупой, ∠С = 20°. Найдите угол АНВ.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой. Прямые, содержащие высоты $AA_1$ и $BB_1$, пересекаются в точке $H$. Точка $H$ является ортоцентром треугольника. Поскольку угол $B$ тупой, ортоцентр $H$ находится вне треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle AHB + \angle HAB + \angle HBA = 180^\circ $

Найдем углы $ \angle HAB $ и $ \angle HBA $.

1. Найдем угол $ \angle HAB $

Высота $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$. Так как угол $B$ — тупой, основание высоты $A_1$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Таким образом, точки $C$, $B$, $A_1$ лежат на одной прямой в указанном порядке.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1B$. Угол $ \angle AA_1B = 90^\circ $. Угол $ \angle ABA_1 $ является смежным с углом $ \angle ABC $, поэтому $ \angle ABA_1 = 180^\circ - \angle B $. Из суммы углов треугольника $AA_1B$: $ \angle A_1AB = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABA_1 = 90^\circ - (180^\circ - \angle B) = \angle B - 90^\circ $.

Так как точки $A$, $H$, $A_1$ лежат на одной прямой (линии, содержащей высоту), то $ \angle HAB = \angle A_1AB = \angle B - 90^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle HBA $

Высота $BB_1$ перпендикулярна стороне $AC$. Основание высоты $B_1$ лежит на стороне $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Угол $ \angle AB_1B = 90^\circ $. Из суммы углов этого треугольника: $ \angle ABB_1 = 180^\circ - 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \angle A $.

Ор­то­центр $H$ лежит на прямой $BB_1$. Так как угол $B$ — тупой, ор­то­центр $H$ и вер­ши­на $A$ лежат по разные сто­ро­ны от прямой $BC$. Также $H$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Это означает, что $H$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $AC$. Следовательно, точка $B_1$ лежит между точками $H$ и $B$. Таким образом, углы $ \angle HBA $ и $ \angle ABB_1 $ являются смежными. $ \angle HBA = 180^\circ - \angle ABB_1 = 180^\circ - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ + \angle A $.

3. Найдем искомый угол $ \angle AHB $

Подставим найденные выражения для углов в формулу суммы углов треугольника $ABH$: $ \angle AHB + (\angle B - 90^\circ) + (90^\circ + \angle A) = 180^\circ $ $ \angle AHB + \angle B - 90^\circ + 90^\circ + \angle A = 180^\circ $ $ \angle AHB + \angle A + \angle B = 180^\circ $

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $, откуда $ \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C $.

Подставим это в наше уравнение: $ \angle AHB + (180^\circ - \angle C) = 180^\circ $ $ \angle AHB = 180^\circ - 180^\circ + \angle C $ $ \angle AHB = \angle C $

По условию $ \angle C = 20^\circ $. Следовательно, $ \angle AHB = 20^\circ $.

Ответ: 20°.

1 Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

Дайте определение параллельных прямых.

В евклидовой геометрии две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются. Это означает, что у них нет ни одной общей точки, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.
Параллельность прямых $a$ и $b$ обозначается как $a \parallel b$.
Согласно аксиоме параллельности Евклида, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
В трехмерном пространстве определение аналогично: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые в пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Ответ: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Какие два отрезка называются параллельными?

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Рассмотрим два отрезка, например, $AB$ и $CD$. Каждый отрезок является частью некоторой прямой. Пусть отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, а отрезок $CD$ — на прямой $c$. Если прямые $a$ и $c$ параллельны ($a \parallel c$), то отрезки $AB$ и $CD$ также считаются параллельными ($AB \parallel CD$).
Это определение также справедливо для параллельности лучей, а также для параллельности отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча.

Ответ: Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

2 Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Что такое секущая по отношению к двум прямым?

Секущая по отношению к двум прямым — это прямая, которая пересекает эти две прямые в двух различных точках. Пусть даны две прямые a и b. Прямая c будет называться секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает прямую a в одной точке, а прямую b — в другой. При этом исходные прямые a и b могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Ответ: Секущая — это прямая, пересекающая две другие прямые в двух разных точках.

Пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей

При пересечении двух прямых (назовем их a и b) третьей прямой, называемой секущей (назовем ее c), образуется восемь углов. Для удобства их можно пронумеровать. Углы $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$ образуются в точке пересечения прямой a с секущей c. Углы $\angle 5$, $\angle 6$, $\angle 7$, $\angle 8$ образуются в точке пересечения прямой b с секущей c.

Выделяют следующие основные виды пар углов:

• Внутренние накрест лежащие углы: это пары углов, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по разные стороны от секущей c. Таких пар две: ($\angle 3$ и $\angle 6$), ($\angle 4$ и $\angle 5$).
• Внешние накрест лежащие углы: это пары углов, которые лежат во внешней области относительно прямых a и b и по разные стороны от секущей c. Таких пар две: ($\angle 1$ и $\angle 8$), ($\angle 2$ и $\angle 7$).
• Соответственные углы: это пары углов, которые расположены одинаково относительно пересекаемых прямых и секущей. Например, оба угла являются левыми верхними при своих пересечениях. Таких пар четыре: ($\angle 1$ и $\angle 5$), ($\angle 2$ и $\angle 6$), ($\angle 3$ и $\angle 7$), ($\angle 4$ и $\angle 8$).
• Внутренние односторонние углы: это пары углов, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. Таких пар две: ($\angle 3$ и $\angle 5$), ($\angle 4$ и $\angle 6$).
• Внешние односторонние углы: это пары углов, которые лежат во внешней области относительно прямых a и b и по одну сторону от секущей c. Таких пар две: ($\angle 1$ и $\angle 7$), ($\angle 2$ и $\angle 8$).

Кроме того, в каждой точке пересечения образуются пары вертикальных углов (например, $\angle 1$ и $\angle 4$) и смежных углов (например, $\angle 1$ и $\angle 2$).

Ответ: Основные пары углов, образующиеся при пересечении двух прямых секущей: внутренние накрест лежащие, внешние накрест лежащие, соответственные, внутренние односторонние и внешние односторонние углы.

3 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Это утверждение является признаком параллельности прямых и доказывается методом от противного.

Пусть две прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой (секущей) $c$ в точках $A$ и $B$ соответственно. При этом образовались накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$.

Дано:
Прямые $a$ и $b$, секущая $c$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие углы.
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказать:
$a \parallel b$ (прямая $a$ параллельна прямой $b$).

Доказательство:
Предположим обратное, то есть что прямые $a$ и $b$ не параллельны. По определению, если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $C$.

В этом случае точки $A$, $B$ и $C$ образуют треугольник $ABC$.

Рассмотрим углы в получившемся треугольнике $ABC$. Угол $\angle 1$ является внешним углом этого треугольника при вершине $A$. Угол $\angle 2$ является внутренним углом треугольника при вершине $B$, и он не смежный с внешним углом $\angle 1$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, любой внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, для треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство:

$\angle 1 > \angle 2$

Однако это неравенство противоречит условию задачи, согласно которому $\angle 1 = \angle 2$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Таким образом, $a \parallel b$.

Ответ: Утверждение доказано. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

4 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Для доказательства утверждения, что при равенстве соответственных углов прямые параллельны, мы покажем, как это условие приводит к выполнению другого известного признака параллельности прямых — равенству накрест лежащих углов.

Пусть две прямые ?? и ?? пересечены секущей ??. При этом образуются различные пары углов. Возьмем одну пару соответственных углов, обозначим их $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, эти углы равны:
$\angle 1 = \angle 2$.

Теперь рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным к углу $\angle 1$. Согласно свойству вертикальных углов, они всегда равны между собой:
$\angle 1 = \angle 3$.

Мы имеем систему из двух равенств:
1) $\angle 1 = \angle 2$ (по условию);
2) $\angle 1 = \angle 3$ (как вертикальные углы).

Из этих равенств следует, что $\angle 2 = \angle 3$.

Определим взаимное расположение углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Поскольку $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные, а $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, то углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых ?? и ?? секущей ??.

Существует фундаментальный признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как мы доказали равенство накрест лежащих углов ($\angle 2 = \angle 3$), мы можем с уверенностью заключить, что прямые ?? и ?? параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство соответственных углов при пересечении двух прямых секущей влечет за собой равенство накрест лежащих углов, что является достаточным признаком параллельности этих прямых.

5 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это утверждение является одним из признаков параллельности прямых. Докажем его, опираясь на свойство смежных углов и другой признак параллельности (о равенстве соответственных углов).

Дано:
Две прямые $a$ и $b$ пересекаются третьей прямой (секущей) $c$.
Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — это внутренние односторонние углы, образованные при пересечении.
По условию задачи, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Доказать:
Прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

Доказательство:
Рассмотрим следующую схему расположения углов:

Здесь $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние односторонние углы. Угол $\angle 3$ является смежным с углом $\angle 1$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$.

Из условия задачи мы знаем, что:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Так как правые части обоих равенств равны ($180^\circ$), мы можем приравнять их левые части:
$\angle 1 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 2$.

Вычтем из обеих частей этого равенства угол $\angle 1$ и получим:
$\angle 3 = \angle 2$.

Теперь проанализируем положение углов $\angle 3$ и $\angle 2$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 2$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

6 Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.

С помощью линейки и угольника (треугольника)
Это один из самых распространенных и простых способов, используемых на уроках геометрии и в черчении. 1. Проведите исходную прямую $a$. 2. Приложите один из катетов (коротких сторон) угольника к этой прямой. 3. К другому катету угольника плотно прижмите линейку. 4. Зафиксируйте линейку, чтобы она не двигалась, и начните перемещать (скользить) угольник вдоль нее. 5. В новом положении угольника проведите прямую $b$ вдоль того же катета, что был приложен к прямой $a$. Прямая $b$ будет параллельна прямой $a$, так как при таком построении сохраняются соответственные углы, образованные секущей (линейкой) и параллельными прямыми (исходной и построенной).
Ответ: Построенная прямая $b$ параллельна исходной прямой $a$ ($b \parallel a$).

С помощью циркуля и линейки
Этот классический метод основан на построении равных углов, что является признаком параллельности прямых. 1. Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой. 2. Проведите через точку $M$ произвольную прямую (секущую), которая пересекает прямую $a$ в точке $K$. 3. Возьмите циркуль, установите произвольный радиус и проведите дугу с центром в точке $K$ так, чтобы она пересекла прямую $a$ (в точке $A$) и секущую (в точке $B$). 4. Не меняя раствора циркуля, проведите дугу с центром в точке $M$, чтобы она пересекла секущую (в точке $C$) и продолжилась в ту же сторону, что и дуга $AB$. 5. Измерьте циркулем расстояние между точками $A$ и $B$. 6. С этим раствором циркуля проведите новую дугу с центром в точке $C$ так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 4. Обозначьте точку пересечения как $D$. 7. Проведите прямую $b$ через точки $M$ и $D$. Прямая $b$ будет параллельна прямой $a$, так как мы построили равные соответственные углы ($\angle MKB$ и $\angle CMD$ при данном построении).
Ответ: Построенная прямая $b$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$.

С помощью двух линеек или рейсшины
Этот метод похож на первый, но вместо угольника используется вторая линейка или специальный чертежный инструмент — рейсшина. 1. Одну линейку (направляющую) расположите на бумаге и крепко зафиксируйте. 2. Вторую линейку (рабочую) приложите к первой. Проведите вдоль рабочей линейки первую прямую. 3. Перемещайте рабочую линейку вдоль направляющей, не меняя угла между ними. 4. Проведите вторую прямую вдоль того же края рабочей линейки. Все прямые, проведенные таким образом, будут параллельны друг другу. Рейсшина является усовершенствованным вариантом этого способа, где ее головка скользит по краю чертежной доски, обеспечивая высокую точность параллельных линий.
Ответ: Все прямые, построенные путем скольжения одной линейки вдоль другой, будут параллельны.

Используя свойство ромба или параллелограмма
Этот метод также использует циркуль и линейку, но основан на свойстве параллельности противоположных сторон параллелограмма. 1. Пусть дана прямая $a$ и точка $P$ вне ее. 2. Выберите на прямой $a$ любую точку $A$. 3. Измерьте циркулем расстояние $AP$. 4. Выберите на прямой $a$ другую точку $B$ и проведите дугу с центром в этой точке и радиусом, равным $AP$. 5. Измерьте циркулем расстояние $AB$ и проведите дугу с центром в точке $P$ и этим радиусом. 6. Точка пересечения двух дуг (из шагов 4 и 5) будет четвертой вершиной параллелограмма. Обозначим ее $Q$. 7. Проведите прямую через точки $P$ и $Q$. По построению четырехугольник $ABQP$ является параллелограммом (его противоположные стороны попарно равны: $AP = BQ$ и $AB = PQ$), следовательно, прямая $PQ$ параллельна прямой $AB$ (то есть прямой $a$).
Ответ: Прямая $PQ$, построенная как сторона параллелограмма, параллельна исходной прямой $a$.

7 Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

Какие утверждения называются аксиомами

Аксиома (от древнегреческого ?????? — «утверждение, положение») — это исходное, фундаментальное утверждение в рамках какой-либо научной теории (чаще всего в математике, логике и геометрии), которое принимается как истинное без необходимости доказательства. Аксиомы служат отправной точкой, или фундаментом, для построения всей теории. Все последующие утверждения этой теории, называемые теоремами, должны быть строго логически выведены из аксиом.

Система аксиом, лежащая в основе теории, должна удовлетворять определённым требованиям:

• Непротиворечивость: из набора аксиом не должно быть возможности вывести два утверждения, которые противоречат друг другу (например, доказать, что утверждение $A$ истинно и одновременно ложно).
• Независимость: ни одна из аксиом не может быть выведена из других аксиом этой же системы. Если какую-либо аксиому можно доказать с помощью остальных, она по определению является теоремой, а не аксиомой.
• Полнота: система аксиом считается полной, если любое утверждение, сформулированное на языке этой теории, может быть либо доказано, либо опровергнуто на основе этих аксиом.

Примеры аксиом

Аксиомы лежат в основе многих разделов математики. Вот несколько известных примеров из различных областей.

Аксиомы евклидовой геометрии (некоторые из них):

• Через любые две различные точки можно провести единственную прямую.
• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельности Евклида).
• Все прямые углы равны между собой.
• От любого луча в любую сторону можно отложить угол, равный данному.

Аксиомы арифметики (аксиомы Пеано в упрощенной форме):

Эти аксиомы определяют свойства натуральных чисел (0, 1, 2, ...).

• 0 — натуральное число.
• Для каждого натурального числа $n$ существует следующее за ним натуральное число, которое обозначается как $S(n)$ (или $n+1$).
• Не существует натурального числа $n$, для которого $S(n) = 0$ (ноль не следует ни за каким числом).
• Разные натуральные числа имеют разных последователей: если $m \ne n$, то $S(m) \ne S(n)$.
• Аксиома математической индукции: если некоторое свойство верно для числа 0, и если из предположения, что оно верно для натурального числа $n$, следует, что оно верно и для следующего числа $S(n)$, то это свойство верно для всех натуральных чисел.

Аксиомы из других областей:

• Теория множеств (аксиома объёмности): Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
• Классическая логика (закон исключённого третьего): Любое высказывание либо истинно, либо ложно — третьего не дано.

Ответ: Аксиомами называют исходные, базовые утверждения научной теории, которые принимаются как истинные без доказательств и служат основой для логического вывода всех остальных утверждений (теорем). В качестве примеров можно привести аксиомы геометрии Евклида (например, «через две точки можно провести только одну прямую»), аксиомы арифметики Пеано, определяющие натуральные числа, и фундаментальные законы логики.

8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

Это утверждение является теоремой о существовании прямой, параллельной данной. Докажем её методом построения.

Дано:

• Прямая a.
• Точка M, которая не лежит на прямой a ($M \notin a$).

Требуется доказать:

Существует прямая b, которая проходит через точку M и параллельна прямой a.

Доказательство:

1. Согласно теореме о существовании перпендикуляра к прямой, из точки M, не лежащей на прямой a, можно провести перпендикуляр к этой прямой. Проведем перпендикуляр MH из точки M к прямой a, где H — точка их пересечения. Таким образом, по построению, прямая MH перпендикулярна прямой a ($MH \perp a$).

2. Теперь рассмотрим прямую MH и точку M на ней. Согласно аксиоме, через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну. Проведем через точку M прямую b так, чтобы она была перпендикулярна прямой MH ($b \perp MH$).

3. В результате наших построений мы получили две прямые, a и b, которые обе перпендикулярны третьей прямой MH.

4. Воспользуемся свойством параллельных прямых (или теоремой): "Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны".

5. Поскольку $a \perp MH$ и $b \perp MH$, то из этой теоремы следует, что прямые a и b параллельны: $a \parallel b$.

Таким образом, мы построили прямую b, которая проходит через заданную точку M (по построению на шаге 2) и параллельна заданной прямой a. Существование такой прямой доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Мы построили искомую параллельную прямую, проведя из данной точки перпендикуляр к данной прямой, а затем через ту же точку провели прямую, перпендикулярную этому перпендикуляру. По свойству двух прямых, перпендикулярных третьей, построенная прямая параллельна исходной.

9 Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых, также известная как пятый постулат Евклида или, в более современной формулировке, аксиома Плейфера, является одним из ключевых положений, на которых строится евклидова геометрия. Эта аксиома не может быть доказана на основе других аксиом евклидовой геометрии и принимается как истинное утверждение без доказательства.

Формулировка аксиомы

В школьном курсе геометрии и в большинстве современных текстов используется следующая формулировка:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Разъяснение аксиомы

Давайте разберем это утверждение по частям. Представим, что у нас есть:
• Прямая $a$.
• Точка $M$, которая не находится на этой прямой (записывается как $M \notin a$).

Аксиома утверждает две вещи:
1. Существование: Через точку $M$ можно провести как минимум одну прямую $b$, которая будет параллельна прямой $a$ (то есть $b \parallel a$).
2. Единственность: Такая прямая $b$ является единственной. Любая другая прямая $c$, проходящая через точку $M$, обязательно пересечет прямую $a$ в некоторой точке.

Таким образом, из бесконечного множества прямых, проходящих через точку $M$, ровно одна никогда не пересечется с прямой $a$.

Значение и следствия

Пятый постулат отличает евклидову геометрию от других геометрических систем. Попытки доказать его привели к созданию неевклидовых геометрий (например, геометрии Лобачевского), где эта аксиома заменяется на альтернативную (например, "через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более одной прямой, параллельной данной").

На основе аксиомы параллельных прямых в евклидовой геометрии доказывается множество важнейших теорем, таких как:
• Сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым углам, то есть $180^\circ$.
• Признаки и свойства параллельных прямых (равенство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей и т.д.).
• Теорема Пифагора.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

10 Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Какое утверждение называется следствием?

В математике следствием называют утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или доказанной ранее теоремы. Поскольку следствие является прямым логическим выводом из уже установленного факта, его собственное доказательство обычно очень короткое и простое, либо не требуется вовсе.

Ответ: Следствие — это утверждение, которое логически следует из доказанной теоремы или аксиомы.

Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:
Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:
1. Предположим противное: пусть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.
2. Если прямая $c$ не пересекает прямую $b$, то по определению параллельных прямых, прямые $c$ и $b$ параллельны ($c \parallel b$).
3. По условию задачи мы также знаем, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).
4. Таким образом, получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $c$), и обе они параллельны одной и той же прямой $b$.
5. Это противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
6. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным.
7. Следовательно, прямая $c$ обязана пересекать прямую $b$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11 Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Это утверждение, известное как свойство транзитивности параллельности прямых, является одной из основных теорем планиметрии. Докажем его методом от противного.

Дано:
Имеются три прямые: $a$, $b$ и $c$.
Прямая $a$ параллельна прямой $c$: $a \parallel c$.
Прямая $b$ параллельна прямой $c$: $b \parallel c$.

Доказать:
Прямая $a$ параллельна прямой $b$: $a \parallel b$.

Доказательство:

Предположим, что утверждение неверно, то есть прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $M$.

Таким образом, точка $M$ является общей для прямых $a$ и $b$ ($M \in a$ и $M \in b$).

Исходя из нашего предположения, получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и каждая из них параллельна третьей прямой $c$.

Однако это напрямую противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Значит, $a \parallel b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

12 Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

Какая теорема называется обратной данной теореме?

Любую теорему можно сформулировать в виде условного утверждения: «Если A (условие), то B (заключение)». Условие — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать или что следует из условия.

Теоремой, обратной к данной теореме «Если A, то B», называется теорема «Если B, то A». Таким образом, в обратной теореме условие и заключение исходной (прямой) теоремы меняются местами.

Схематически это можно записать с помощью знака импликации (следования). Если прямая теорема имеет вид $A \implies B$, то обратная ей теорема будет иметь вид $B \implies A$.

Важно отметить, что если прямая теорема верна, это не гарантирует, что обратная ей теорема также будет верна. Если верны и прямая, и обратная теоремы, то условия A и B называют равносильными или эквивалентными.

Ответ: Теорема, в которой условием является заключение данной (прямой) теоремы, а заключением — её условие, называется обратной данной теореме.

Приведите примеры теорем, обратных данным.

Пример 1: Верная обратная теорема

• Прямая теорема (свойство равнобедренного треугольника): Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
• Обратная теорема (признак равнобедренного треугольника): Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

В этом примере и прямая, и обратная теоремы являются верными.

Пример 2: Неверная обратная теорема

• Прямая теорема (свойство вертикальных углов): Если два угла вертикальные, то они равны.
• Обратная теорема: Если два угла равны, то они вертикальные.

Здесь прямая теорема верна, а обратная — нет. Например, два угла при основании равнобедренного треугольника равны между собой, но они не являются вертикальными.

Пример 3: Теорема Пифагора

• Прямая теорема: Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).
• Обратная теорема: Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

В данном случае также верны и прямая, и обратная теоремы.

Ответ: 1. Пример с верной обратной теоремой: прямая — «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны», обратная — «Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный». 2. Пример с неверной обратной теоремой: прямая — «Если углы вертикальные, то они равны», обратная — «Если два угла равны, то они вертикальные».

13 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).
Прямая $c$ является секущей для прямых $a$ и $b$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Доказать:
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:

1. Предположим, что накрест лежащие углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$.

2. Пусть прямая $a$ пересекается с секущей $c$ в точке $A$. Через точку $A$ проведём прямую $a'$ так, чтобы угол, образованный прямой $a'$ и секущей $c$, который является накрест лежащим с углом $\angle 2$, был равен углу $\angle 2$. Обозначим этот новый угол как $\angle 3$. Таким образом, по построению $\angle 3 = \angle 2$.

3. Теперь рассмотрим прямые $a'$ и $b$ и секущую $c$. Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются накрест лежащими, и мы их построили равными ($\angle 3 = \angle 2$). Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, прямая $a'$ параллельна прямой $b$ ($a' \parallel b$).

4. Получаем, что через точку $A$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $a'$), которые параллельны прямой $b$. Прямая $a \parallel b$ по условию, а прямая $a' \parallel b$ по нашему доказательству в пункте 3.

5. Это утверждение противоречит аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

6. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, предположение о том, что $\angle 1 \neq \angle 2$, ложно.

7. Таким образом, должно выполняться равенство $\angle 1 = \angle 2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей доказывается методом от противного. Предположение о неравенстве этих углов приводит к логическому противоречию с аксиомой параллельных прямых, согласно которой через точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Следовательно, исходное предположение неверно, и накрест лежащие углы обязаны быть равными.

14 Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, то есть $a \parallel b$.

Пусть дана прямая $c$, которая перпендикулярна прямой $a$, то есть $c \perp a$.

Доказать:

Необходимо доказать, что прямая $c$ также перпендикулярна прямой $b$, то есть $c \perp b$.

Доказательство:

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ по условию ($c \perp a$). Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то прямая $c$, пересекающая одну из них, обязательно пересекает и другую. Таким образом, прямая $c$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$.

Поскольку $c \perp a$, угол, образованный при их пересечении, равен $90^\circ$. Обозначим один из этих углов как $\angle 1$. Следовательно, $\angle 1 = 90^\circ$.

При пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуются различные пары углов. Рассмотрим угол, который является соответственным углу $\angle 1$. Этот угол, обозначим его $\angle 2$, образуется при пересечении прямых $b$ и $c$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых и ее следствиям, если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Таким образом, $\angle 2 = \angle 1$.

Так как мы установили, что $\angle 1 = 90^\circ$, то и $\angle 2 = 90^\circ$.

Угол между прямыми $b$ и $c$ равен $90^\circ$, что по определению перпендикулярных прямых означает, что $c \perp b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей:

а) соответственные углы равны;

б) сумма односторонних углов равна 180°.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся основными геометрическими свойствами углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Главное свойство, на которое мы будем опираться, — это равенство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей. Также мы будем использовать свойства вертикальных и смежных углов.

а) соответственные углы равны;

Нужно доказать, что соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых a и b секущей c, равны. Возьмем для примера одну пару соответственных углов, назовем их $\angle 1$ и $\angle 2$.

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным для угла $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.

Теперь посмотрим на углы $\angle 3$ и $\angle 2$. Эти углы являются накрест лежащими. Так как по условию прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), то накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 2$.

Из полученных равенств $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$. Это доказывает, что соответственные углы равны. Доказательство для любой другой пары соответственных углов будет аналогичным.

Ответ: Утверждение доказано. Соответственные углы равны, так как один из них равен своему вертикальному углу, который, в свою очередь, является накрест лежащим для второго соответственного угла и потому равен ему.

б) сумма односторонних углов равна 180°.

Нужно доказать, что сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Возьмем для примера пару таких углов, назовем их $\angle 4$ и $\angle 5$.

Рассмотрим угол $\angle 6$, который является смежным с углом $\angle 4$. По свойству смежных углов, их сумма составляет $180^\circ$. Таким образом, $\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$.

Теперь посмотрим на углы $\angle 6$ и $\angle 5$. Эти углы являются накрест лежащими. Поскольку прямые, на которых лежат эти углы, параллельны ($a \parallel b$), то по свойству накрест лежащих углов $\angle 6 = \angle 5$.

Подставим в равенство $\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$ вместо угла $\angle 6$ равный ему угол $\angle 5$. Мы получим: $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$. Это доказывает, что сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$, так как один из этих углов вместе со своим смежным углом составляет $180^\circ$, а этот смежный угол равен второму одностороннему углу (как накрест лежащий).