Номер 8, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 8, страница 67.

8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

Это утверждение является теоремой о существовании прямой, параллельной данной. Докажем её методом построения.

Дано:

• Прямая a.
• Точка M, которая не лежит на прямой a ($M \notin a$).

Требуется доказать:

Существует прямая b, которая проходит через точку M и параллельна прямой a.

Доказательство:

1. Согласно теореме о существовании перпендикуляра к прямой, из точки M, не лежащей на прямой a, можно провести перпендикуляр к этой прямой. Проведем перпендикуляр MH из точки M к прямой a, где H — точка их пересечения. Таким образом, по построению, прямая MH перпендикулярна прямой a ($MH \perp a$).

2. Теперь рассмотрим прямую MH и точку M на ней. Согласно аксиоме, через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну. Проведем через точку M прямую b так, чтобы она была перпендикулярна прямой MH ($b \perp MH$).

3. В результате наших построений мы получили две прямые, a и b, которые обе перпендикулярны третьей прямой MH.

4. Воспользуемся свойством параллельных прямых (или теоремой): "Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны".

5. Поскольку $a \perp MH$ и $b \perp MH$, то из этой теоремы следует, что прямые a и b параллельны: $a \parallel b$.

Таким образом, мы построили прямую b, которая проходит через заданную точку M (по построению на шаге 2) и параллельна заданной прямой a. Существование такой прямой доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Мы построили искомую параллельную прямую, проведя из данной точки перпендикуляр к данной прямой, а затем через ту же точку провели прямую, перпендикулярную этому перпендикуляру. По свойству двух прямых, перпендикулярных третьей, построенная прямая параллельна исходной.