Номер 4, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 4, страница 67.

4 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Для доказательства утверждения, что при равенстве соответственных углов прямые параллельны, мы покажем, как это условие приводит к выполнению другого известного признака параллельности прямых — равенству накрест лежащих углов.

Пусть две прямые ?? и ?? пересечены секущей ??. При этом образуются различные пары углов. Возьмем одну пару соответственных углов, обозначим их $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, эти углы равны:
$\angle 1 = \angle 2$.

Теперь рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным к углу $\angle 1$. Согласно свойству вертикальных углов, они всегда равны между собой:
$\angle 1 = \angle 3$.

Мы имеем систему из двух равенств:
1) $\angle 1 = \angle 2$ (по условию);
2) $\angle 1 = \angle 3$ (как вертикальные углы).

Из этих равенств следует, что $\angle 2 = \angle 3$.

Определим взаимное расположение углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Поскольку $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные, а $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, то углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых ?? и ?? секущей ??.

Существует фундаментальный признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как мы доказали равенство накрест лежащих углов ($\angle 2 = \angle 3$), мы можем с уверенностью заключить, что прямые ?? и ?? параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство соответственных углов при пересечении двух прямых секущей влечет за собой равенство накрест лежащих углов, что является достаточным признаком параллельности этих прямых.