Номер 215, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 215, страница 66.

215 Два тела Р₁ и Р₂ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки A и B (рис. 127). Третье тело Р₃ подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р₁ и Р₂. (При этом AP₁ || BP₂ || CP₃.) Докажите, что ∠ACB=∠CAP₁ +∠CBP₂.

Для доказательства воспользуемся свойством параллельных прямых. Согласно условию задачи, отрезки нити $AP_1$, $BP_2$ и $CP_3$ вертикальны. Это означает, что прямые, содержащие эти отрезки, параллельны друг другу.

Проведем через точку $C$ луч $CD$, направленный вертикально вниз. Поскольку $AP_1$ и $BP_2$ также вертикальны, то луч $CD$ будет параллелен прямым, содержащим отрезки $AP_1$ и $BP_2$.

Этот луч $CD$ проходит внутри угла $\angle ACB$ и делит его на два угла: $\angle ACD$ и $\angle BCD$. Согласно аксиоме измерения углов, можно записать:

$\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD \quad (1)$

Теперь рассмотрим параллельные прямые, содержащие отрезки $AP_1$ и $CD$, и секущую $AC$. Углы $\angle CAP_1$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle CAP_1 = \angle ACD \quad (2)$

Аналогично рассмотрим параллельные прямые, содержащие отрезки $BP_2$ и $CD$, и секущую $BC$. Углы $\angle CBP_2$ и $\angle BCD$ также являются внутренними накрест лежащими, и следовательно, они равны:

$\angle CBP_2 = \angle BCD \quad (3)$

Подставим равенства (2) и (3) в равенство (1), чтобы выразить $\angle ACB$ через искомые углы:

$\angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на проведении через вершину $C$ угла $\angle ACB$ луча, параллельного двум другим вертикальным линиям ($AP_1$ и $BP_2$). Этот луч делит угол $\angle ACB$ на два угла, каждый из которых оказывается равен соответствующему углу ($\angle CAP_1$ или $\angle CBP_2$) как внутренний накрест лежащий угол при параллельных прямых и секущей. Сумма этих углов равна углу $\angle ACB$.