Номер 3, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 3, страница 67.

3 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Это утверждение является признаком параллельности прямых и доказывается методом от противного.

Пусть две прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой (секущей) $c$ в точках $A$ и $B$ соответственно. При этом образовались накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$.

Дано:
Прямые $a$ и $b$, секущая $c$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие углы.
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказать:
$a \parallel b$ (прямая $a$ параллельна прямой $b$).

Доказательство:
Предположим обратное, то есть что прямые $a$ и $b$ не параллельны. По определению, если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $C$.

В этом случае точки $A$, $B$ и $C$ образуют треугольник $ABC$.

Рассмотрим углы в получившемся треугольнике $ABC$. Угол $\angle 1$ является внешним углом этого треугольника при вершине $A$. Угол $\angle 2$ является внутренним углом треугольника при вершине $B$, и он не смежный с внешним углом $\angle 1$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, любой внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, для треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство:

$\angle 1 > \angle 2$

Однако это неравенство противоречит условию задачи, согласно которому $\angle 1 = \angle 2$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Таким образом, $a \parallel b$.

Ответ: Утверждение доказано. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.