Номер 9, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 9, страница 67.

9 Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых, также известная как пятый постулат Евклида или, в более современной формулировке, аксиома Плейфера, является одним из ключевых положений, на которых строится евклидова геометрия. Эта аксиома не может быть доказана на основе других аксиом евклидовой геометрии и принимается как истинное утверждение без доказательства.

Формулировка аксиомы

В школьном курсе геометрии и в большинстве современных текстов используется следующая формулировка:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Разъяснение аксиомы

Давайте разберем это утверждение по частям. Представим, что у нас есть:
• Прямая $a$.
• Точка $M$, которая не находится на этой прямой (записывается как $M \notin a$).

Аксиома утверждает две вещи:
1. Существование: Через точку $M$ можно провести как минимум одну прямую $b$, которая будет параллельна прямой $a$ (то есть $b \parallel a$).
2. Единственность: Такая прямая $b$ является единственной. Любая другая прямая $c$, проходящая через точку $M$, обязательно пересечет прямую $a$ в некоторой точке.

Таким образом, из бесконечного множества прямых, проходящих через точку $M$, ровно одна никогда не пересечется с прямой $a$.

Значение и следствия

Пятый постулат отличает евклидову геометрию от других геометрических систем. Попытки доказать его привели к созданию неевклидовых геометрий (например, геометрии Лобачевского), где эта аксиома заменяется на альтернативную (например, "через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более одной прямой, параллельной данной").

На основе аксиомы параллельных прямых в евклидовой геометрии доказывается множество важнейших теорем, таких как:
• Сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым углам, то есть $180^\circ$.
• Признаки и свойства параллельных прямых (равенство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей и т.д.).
• Теорема Пифагора.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.