Номер 7, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 7, страница 67.

7 Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

Какие утверждения называются аксиомами

Аксиома (от древнегреческого ?????? — «утверждение, положение») — это исходное, фундаментальное утверждение в рамках какой-либо научной теории (чаще всего в математике, логике и геометрии), которое принимается как истинное без необходимости доказательства. Аксиомы служат отправной точкой, или фундаментом, для построения всей теории. Все последующие утверждения этой теории, называемые теоремами, должны быть строго логически выведены из аксиом.

Система аксиом, лежащая в основе теории, должна удовлетворять определённым требованиям:

• Непротиворечивость: из набора аксиом не должно быть возможности вывести два утверждения, которые противоречат друг другу (например, доказать, что утверждение $A$ истинно и одновременно ложно).
• Независимость: ни одна из аксиом не может быть выведена из других аксиом этой же системы. Если какую-либо аксиому можно доказать с помощью остальных, она по определению является теоремой, а не аксиомой.
• Полнота: система аксиом считается полной, если любое утверждение, сформулированное на языке этой теории, может быть либо доказано, либо опровергнуто на основе этих аксиом.

Примеры аксиом

Аксиомы лежат в основе многих разделов математики. Вот несколько известных примеров из различных областей.

Аксиомы евклидовой геометрии (некоторые из них):

• Через любые две различные точки можно провести единственную прямую.
• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельности Евклида).
• Все прямые углы равны между собой.
• От любого луча в любую сторону можно отложить угол, равный данному.

Аксиомы арифметики (аксиомы Пеано в упрощенной форме):

Эти аксиомы определяют свойства натуральных чисел (0, 1, 2, ...).

• 0 — натуральное число.
• Для каждого натурального числа $n$ существует следующее за ним натуральное число, которое обозначается как $S(n)$ (или $n+1$).
• Не существует натурального числа $n$, для которого $S(n) = 0$ (ноль не следует ни за каким числом).
• Разные натуральные числа имеют разных последователей: если $m \ne n$, то $S(m) \ne S(n)$.
• Аксиома математической индукции: если некоторое свойство верно для числа 0, и если из предположения, что оно верно для натурального числа $n$, следует, что оно верно и для следующего числа $S(n)$, то это свойство верно для всех натуральных чисел.

Аксиомы из других областей:

• Теория множеств (аксиома объёмности): Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
• Классическая логика (закон исключённого третьего): Любое высказывание либо истинно, либо ложно — третьего не дано.

Ответ: Аксиомами называют исходные, базовые утверждения научной теории, которые принимаются как истинные без доказательств и служат основой для логического вывода всех остальных утверждений (теорем). В качестве примеров можно привести аксиомы геометрии Евклида (например, «через две точки можно провести только одну прямую»), аксиомы арифметики Пеано, определяющие натуральные числа, и фундаментальные законы логики.