Номер 5, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 5, страница 67.

5 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это утверждение является одним из признаков параллельности прямых. Докажем его, опираясь на свойство смежных углов и другой признак параллельности (о равенстве соответственных углов).

Дано:
Две прямые $a$ и $b$ пересекаются третьей прямой (секущей) $c$.
Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — это внутренние односторонние углы, образованные при пересечении.
По условию задачи, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Доказать:
Прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

Доказательство:
Рассмотрим следующую схему расположения углов:

Здесь $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние односторонние углы. Угол $\angle 3$ является смежным с углом $\angle 1$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$.

Из условия задачи мы знаем, что:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Так как правые части обоих равенств равны ($180^\circ$), мы можем приравнять их левые части:
$\angle 1 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 2$.

Вычтем из обеих частей этого равенства угол $\angle 1$ и получим:
$\angle 3 = \angle 2$.

Теперь проанализируем положение углов $\angle 3$ и $\angle 2$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 2$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.