Номер 216, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 216, страница 67.

216 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

а) Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, то есть $\angle 1 = \angle 2$.

Проведём биссектрисы $m$ и $n$ углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Биссектриса $m$ делит $\angle 1$ на два равных угла, а биссектриса $n$ делит $\angle 2$ на два равных угла. Рассмотрим углы, которые эти биссектрисы образуют с секущей $c$. Обозначим их $\angle 3$ и $\angle 4$. Тогда $\angle 3 = \frac{1}{2}\angle 1$ и $\angle 4 = \frac{1}{2}\angle 2$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются накрест лежащими для прямых $m$ и $n$ и секущей $c$. Поскольку $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2$, следовательно, $\angle 3 = \angle 4$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Так как $\angle 3 = \angle 4$, то прямые $m$ и $n$ параллельны. Таким образом, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара односторонних углов. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Проведём биссектрисы $m$ и $n$ углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $C$. Пусть секущая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Рассмотрим треугольник $ABC$, сторонами которого являются биссектрисы $AC$ и $BC$ и отрезок секущей $AB$.

По определению биссектрисы, углы $\angle CAB$ и $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$ равны половинам углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно: $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle 1$ и $\angle CBA = \frac{1}{2}\angle 2$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle CAB$ и $\angle CBA$:

$\frac{1}{2}\angle 1 + \frac{1}{2}\angle 2 + \angle ACB = 180^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle 1 + \angle 2) + \angle ACB = 180^\circ$

Мы знаем, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle ACB = 180^\circ$

$90^\circ + \angle ACB = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle ACB$, который является углом между биссектрисами:

$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между биссектрисами односторонних углов равен $90^\circ$, эти биссектрисы перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.