Номер 15, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 15, страница 67.

15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей:

а) соответственные углы равны;

б) сумма односторонних углов равна 180°.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся основными геометрическими свойствами углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Главное свойство, на которое мы будем опираться, — это равенство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей. Также мы будем использовать свойства вертикальных и смежных углов.

а) соответственные углы равны;

Нужно доказать, что соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых a и b секущей c, равны. Возьмем для примера одну пару соответственных углов, назовем их $\angle 1$ и $\angle 2$.

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным для угла $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.

Теперь посмотрим на углы $\angle 3$ и $\angle 2$. Эти углы являются накрест лежащими. Так как по условию прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), то накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 2$.

Из полученных равенств $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$. Это доказывает, что соответственные углы равны. Доказательство для любой другой пары соответственных углов будет аналогичным.

Ответ: Утверждение доказано. Соответственные углы равны, так как один из них равен своему вертикальному углу, который, в свою очередь, является накрест лежащим для второго соответственного угла и потому равен ему.

б) сумма односторонних углов равна 180°.

Нужно доказать, что сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Возьмем для примера пару таких углов, назовем их $\angle 4$ и $\angle 5$.

Рассмотрим угол $\angle 6$, который является смежным с углом $\angle 4$. По свойству смежных углов, их сумма составляет $180^\circ$. Таким образом, $\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$.

Теперь посмотрим на углы $\angle 6$ и $\angle 5$. Эти углы являются накрест лежащими. Поскольку прямые, на которых лежат эти углы, параллельны ($a \parallel b$), то по свойству накрест лежащих углов $\angle 6 = \angle 5$.

Подставим в равенство $\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$ вместо угла $\angle 6$ равный ему угол $\angle 5$. Мы получим: $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$. Это доказывает, что сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$, так как один из этих углов вместе со своим смежным углом составляет $180^\circ$, а этот смежный угол равен второму одностороннему углу (как накрест лежащий).