Номер 219, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 219, страница 68.

219 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB.

Пусть $K$ — середина биссектрисы $AD$. Прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMD$.

В этом треугольнике отрезок $MK$ является высотой, так как по условию прямая $MK$ перпендикулярна стороне $AD$ ($MK \perp AD$).

Поскольку $K$ является серединой отрезка $AD$, то отрезок $MK$ также является медианой треугольника $\triangle AMD$, проведенной к стороне $AD$.

Треугольник, в котором высота, проведенная к одной из сторон, совпадает с медианой, проведенной к той же стороне, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMD$ является равнобедренным треугольником с основанием $AD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что $\angle MAD = \angle MDA$.

По условию задачи, $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Это означает, что $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle MAD$. Таким образом, мы можем записать: $\angle BAD = \angle MAD$.

Из полученных равенств $\angle MAD = \angle MDA$ и $\angle BAD = \angle MAD$ следует, что $\angle BAD = \angle MDA$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $MD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ являются накрест лежащими.

Так как накрест лежащие углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $MD$ параллельна прямой $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: $MD \parallel AB$.