Номер 224, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 224, страница 68.

224* Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, не параллельны, то они пересекаются. Обозначим точку их пересечения как $M$. Таким образом, $a \cap b = \{M\}$.

Теперь выберем на прямой $a$ любую точку $A$, которая не совпадает с точкой $M$ (то есть $A \in a$ и $A \neq M$). Согласно аксиоме параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. В нашем случае через точку $A$ (которая не лежит на прямой $b$, так как $A \neq M$) можно провести прямую $c$, параллельную прямой $b$.

Проанализируем свойства построенной нами прямой $c$. По построению, прямая $c$ проходит через точку $A$, которая принадлежит прямой $a$, следовательно, прямая $c$ пересекает прямую $a$. В то же время, прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$), а значит, не пересекает ее.

Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это напрямую противоречит условию задачи, в котором говорится, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Ответ: Утверждение доказано.