Номер 221, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 221, страница 68.

221 На рисунке 129, б) DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.

Для решения задачи сначала определим, параллельны ли прямые, на которых лежат отрезки $AE$ и $DF$.

Углы величиной $78^\circ$ и $102^\circ$ являются внутренними односторонними углами при пересечении двух прямых (содержащих $AE$ и $DF$) секущей (содержащей $AD$). Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие:

$78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, мы можем заключить, что прямая, содержащая отрезок $AE$, параллельна прямой, содержащей отрезок $DF$. Запишем это как $AE \parallel DF$.

Теперь найдем углы треугольника $ADE$.

1. Угол $ADE$

По данным рисунка, $\angle ADE = 48^\circ$.

2. Угол $DAE$

По условию, $DE$ — биссектриса угла $ADF$. Это означает, что она делит угол $ADF$ на два равных угла: $\angle ADE = \angle EDF = 48^\circ$.

Следовательно, весь угол $ADF$ равен сумме его частей:

$\angle ADF = \angle ADE + \angle EDF = 48^\circ + 48^\circ = 96^\circ$

Поскольку $AE \parallel DF$, углы $DAE$ и $ADF$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AD$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому:

$\angle DAE = \angle ADF = 96^\circ$

3. Угол $AED$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADE$ мы знаем два угла: $\angle ADE = 48^\circ$ и $\angle DAE = 96^\circ$. Найдем третий угол:

$\angle AED = 180^\circ - (\angle ADE + \angle DAE) = 180^\circ - (48^\circ + 96^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Ответ: углы треугольника $ADE$ равны: $\angle ADE = 48^\circ$, $\angle DAE = 96^\circ$, $\angle AED = 36^\circ$.