Номер 221, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых. Дополнительные задачи - номер 221, страница 68.

Условие.

221 На рисунке 129, б) DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи сначала определим, параллельны ли прямые, на которых лежат отрезки $AE$ и $DF$.

Углы величиной $78^\circ$ и $102^\circ$ являются внутренними односторонними углами при пересечении двух прямых (содержащих $AE$ и $DF$) секущей (содержащей $AD$). Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие:

$78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, мы можем заключить, что прямая, содержащая отрезок $AE$, параллельна прямой, содержащей отрезок $DF$. Запишем это как $AE \parallel DF$.

Теперь найдем углы треугольника $ADE$.

1. Угол $ADE$

По данным рисунка, $\angle ADE = 48^\circ$.

2. Угол $DAE$

По условию, $DE$ — биссектриса угла $ADF$. Это означает, что она делит угол $ADF$ на два равных угла: $\angle ADE = \angle EDF = 48^\circ$.

Следовательно, весь угол $ADF$ равен сумме его частей:

$\angle ADF = \angle ADE + \angle EDF = 48^\circ + 48^\circ = 96^\circ$

Поскольку $AE \parallel DF$, углы $DAE$ и $ADF$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AD$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому:

$\angle DAE = \angle ADF = 96^\circ$

3. Угол $AED$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADE$ мы знаем два угла: $\angle ADE = 48^\circ$ и $\angle DAE = 96^\circ$. Найдем третий угол:

$\angle AED = 180^\circ - (\angle ADE + \angle DAE) = 180^\circ - (48^\circ + 96^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Ответ: углы треугольника $ADE$ равны: $\angle ADE = 48^\circ$, $\angle DAE = 96^\circ$, $\angle AED = 36^\circ$.