Номер 222, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 222, страница 68.

222 Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.

Дано:
Прямые $a, b, c$.
$a \parallel c$
$b \parallel c$
Существует прямая $d$, которая пересекает прямую $a$.

Доказать:
Прямая $d$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:
1. Согласно теореме о трех параллельных прямых (или свойству транзитивности параллельности), если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Так как по условию задачи $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то отсюда следует, что $a \parallel b$.

2. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $d$, пересекающая прямую $a$, не пересекает прямую $b$. Если две прямые на плоскости не пересекаются, значит, они параллельны. Таким образом, наше предположение равносильно утверждению, что $d \parallel b$.

3. По условию, прямая $d$ пересекает прямую $a$. Назовем точку их пересечения $M$. Следовательно, точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и прямой $d$.

4. Сопоставим факты: у нас есть точка $M$, через которую проходят две различные прямые, $a$ и $d$. При этом, как мы установили, $a \parallel b$ (из пункта 1), и по нашему предположению, $d \parallel b$ (из пункта 2).

5. Мы пришли к ситуации, когда через точку $M$, не лежащую на прямой $b$ (поскольку $a \parallel b$), проходят две разные прямые ($a$ и $d$), параллельные одной и той же прямой $b$. Это является прямым противоречием аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

6. Возникшее противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, прямая $d$ не может быть параллельна прямой $b$. А так как прямые $d$ и $b$ лежат в одной плоскости, то они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано. Любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает также и прямую $b$.