Номер 227, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 227, страница 68.

227 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а.

Для построения прямой, параллельной данной прямой $a$ и проходящей через точку $A$, не лежащую на ней, воспользуемся методом построения параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны параллельны.

Дано:

Прямая $a$ и точка $A$, такая что $A \notin a$.

Построить:

Прямую $b$, такую что $A \in b$ и $b \parallel a$.

Построение:

1. Через точку $A$ и любую точку на прямой $a$ (назовем ее $B$) проводим с помощью линейки вспомогательную прямую (секущую).
2. Выбираем на прямой $a$ еще одну произвольную точку $C$, не совпадающую с $B$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние $BC$. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом, равным $BC$.
4. С помощью циркуля измеряем расстояние $AB$. Устанавливаем острие циркуля в точку $C$ и проводим дугу окружности радиусом, равным $AB$.
5. Точку пересечения дуг, построенных в шагах 3 и 4, назовем $D$. Точка $D$ должна лежать с той же стороны от секущей $AB$, что и точка $C$.
6. С помощью линейки проводим прямую через точки $A$ и $D$. Обозначим эту прямую как $b$.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По построению мы имеем:

• Сторона $AD$ равна стороне $BC$ (по построению в шаге 3, $AD = BC$).
• Сторона $CD$ равна стороне $AB$ (по построению в шаге 4, $CD = AB$).

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Значит, $AD \parallel BC$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на прямой $a$, то прямая, проходящая через них, совпадает с прямой $a$. Таким образом, прямая, проходящая через точки $A$ и $D$ (прямая $b$), параллельна прямой $a$.

Ответ: Прямая $b$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой, так как она проходит через точку $A$ и параллельна прямой $a$.