Номер 231, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 231, страница 71.

231 Докажите, что: а) углы при основании равнобедренного треугольника острые; б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.

а) Докажем, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны, а третья сторона является основанием. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Обозначим величину каждого из этих углов через $\alpha$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим угол при вершине (противолежащий основанию) как $\beta$. Тогда мы можем записать равенство:

$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

Выразим $2\alpha$ из этого уравнения:

$2\alpha = 180^\circ - \beta$

Так как $\beta$ является углом треугольника, его величина должна быть строго положительной, то есть $\beta > 0^\circ$.

Это означает, что разность $180^\circ - \beta$ будет строго меньше $180^\circ$.

Следовательно, $2\alpha < 180^\circ$.

Разделив обе части неравенства на 2, получаем:

$\alpha < 90^\circ$

Поскольку угол $\alpha$ меньше $90^\circ$, он является острым. Так как оба угла при основании равны $\alpha$, они оба острые.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника острые, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.

Внешний угол треугольника при некоторой вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Пусть $\alpha$ — это внутренний угол при основании равнобедренного треугольника, а $\gamma$ — соответствующий ему внешний угол. Тогда:

$\gamma + \alpha = 180^\circ$

Отсюда можно выразить внешний угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha$

Из пункта а) мы знаем, что внутренний угол при основании $\alpha$ является острым, то есть $\alpha < 90^\circ$. Также, будучи углом треугольника, $\alpha > 0^\circ$. Таким образом, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Рассмотрим значение $\gamma$:

Поскольку $\alpha < 90^\circ$, вычитание $\alpha$ из $180^\circ$ даст результат, больший чем $180^\circ - 90^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - \alpha > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Итак, $\gamma > 90^\circ$.

Поскольку $\alpha > 0^\circ$, то $\gamma = 180^\circ - \alpha < 180^\circ$.

Мы получили, что $90^\circ < \gamma < 180^\circ$. Угол, величина которого находится в этих пределах, по определению является тупым.

Ответ: Внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые, что и требовалось доказать.