Страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

228 Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A = 65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B = 130°; в) ∠A = α, ∠B = 2α; г) ∠A = 60° + α, ∠B = 60° − α.

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство углов треугольника: сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Из этой формулы можно выразить искомый угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано: $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 57^\circ$.

Сначала найдем сумму двух известных углов:

$\angle A + \angle B = 65^\circ + 57^\circ = 122^\circ$

Теперь, используя теорему о сумме углов треугольника, найдем угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$

Ответ: $58^\circ$.

б) Дано: $\angle A = 24^\circ$, $\angle B = 130^\circ$.

Найдем сумму известных углов:

$\angle A + \angle B = 24^\circ + 130^\circ = 154^\circ$

Вычислим угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$

Ответ: $26^\circ$.

в) Дано: $\angle A = \alpha$, $\angle B = 2\alpha$.

Найдем сумму известных углов, выраженную через $\alpha$:

$\angle A + \angle B = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$

Теперь выразим угол $C$ через $\alpha$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 3\alpha$

Ответ: $180^\circ - 3\alpha$.

г) Дано: $\angle A = 60^\circ + \alpha$, $\angle B = 60^\circ - \alpha$.

Найдем сумму известных углов. Обратите внимание, что переменные $\alpha$ взаимно уничтожаются:

$\angle A + \angle B = (60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha) = 60^\circ + \alpha + 60^\circ - \alpha = 120^\circ$

Теперь найдем угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

229 Найдите углы треугольника ABC, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.

229.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию задачи, углы треугольника $ABC$ относятся как $2:3:4$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, равный одной части в данном соотношении. Тогда мы можем выразить каждый угол через $x$:

• $\angle A = 2x$
• $\angle B = 3x$
• $\angle C = 4x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2x + 3x + 4x = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Теперь, зная значение одной части, мы можем найти величину каждого угла:

$\angle A = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

$\angle B = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$

$\angle C = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Проверка: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$.

230 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник, назовём его $ABC$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, в треугольнике $ABC$ стороны равны: $AB = BC = CA$.

В любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Это свойство равнобедренного треугольника, а равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. Так как в нашем треугольнике $AB = BC$, то углы, лежащие напротив этих сторон, равны: $\angle C = \angle A$. Аналогично, так как $BC = CA$, то равны углы $\angle A = \angle B$. Отсюда следует, что все три угла треугольника $ABC$ равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается как: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку мы установили, что все углы равны, мы можем заменить $\angle B$ и $\angle C$ на $\angle A$ в уравнении суммы углов:
$\angle A + \angle A + \angle A = 180^\circ$
$3 \cdot \angle A = 180^\circ$

Из этого уравнения находим величину угла $\angle A$:
$\angle A = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Так как все углы треугольника равны ($\angle A = \angle B = \angle C$), то каждый из них равен $60^\circ$. Таким образом, мы доказали, что каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.

231 Докажите, что: а) углы при основании равнобедренного треугольника острые; б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.

а) Докажем, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны, а третья сторона является основанием. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Обозначим величину каждого из этих углов через $\alpha$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим угол при вершине (противолежащий основанию) как $\beta$. Тогда мы можем записать равенство:

$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

Выразим $2\alpha$ из этого уравнения:

$2\alpha = 180^\circ - \beta$

Так как $\beta$ является углом треугольника, его величина должна быть строго положительной, то есть $\beta > 0^\circ$.

Это означает, что разность $180^\circ - \beta$ будет строго меньше $180^\circ$.

Следовательно, $2\alpha < 180^\circ$.

Разделив обе части неравенства на 2, получаем:

$\alpha < 90^\circ$

Поскольку угол $\alpha$ меньше $90^\circ$, он является острым. Так как оба угла при основании равны $\alpha$, они оба острые.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника острые, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.

Внешний угол треугольника при некоторой вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Пусть $\alpha$ — это внутренний угол при основании равнобедренного треугольника, а $\gamma$ — соответствующий ему внешний угол. Тогда:

$\gamma + \alpha = 180^\circ$

Отсюда можно выразить внешний угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha$

Из пункта а) мы знаем, что внутренний угол при основании $\alpha$ является острым, то есть $\alpha < 90^\circ$. Также, будучи углом треугольника, $\alpha > 0^\circ$. Таким образом, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Рассмотрим значение $\gamma$:

Поскольку $\alpha < 90^\circ$, вычитание $\alpha$ из $180^\circ$ даст результат, больший чем $180^\circ - 90^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - \alpha > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Итак, $\gamma > 90^\circ$.

Поскольку $\alpha > 0^\circ$, то $\gamma = 180^\circ - \alpha < 180^\circ$.

Мы получили, что $90^\circ < \gamma < 180^\circ$. Угол, величина которого находится в этих пределах, по определению является тупым.

Ответ: Внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые, что и требовалось доказать.

232 Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

а)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $x$.

Согласно условию, угол при основании в 2 раза больше угла при вершине, то есть он равен $2x$. Так как в равнобедренном треугольнике два угла при основании, то оба они равны $2x$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Составим и решим уравнение, сложив все три угла:

$x + 2x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $36^\circ$.

Теперь найдем углы при основании:

$2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Итак, углы треугольника равны $36^\circ$, $72^\circ$ и $72^\circ$.

Ответ: 36°, 72°, 72°.

б)

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$. Внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом, равен их разности с $180^\circ$. Значит, внешний угол, смежный с углом при основании $\alpha$, равен $180^\circ - \alpha$.

По условию задачи, угол при основании в 3 раза меньше смежного с ним внешнего угла. Это можно записать в виде уравнения:

$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3\alpha = 180^\circ - \alpha$

Перенесем $\alpha$ в левую часть уравнения:

$3\alpha + \alpha = 180^\circ$

$4\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{4}$

$\alpha = 45^\circ$

Мы нашли величину угла при основании. Так как треугольник равнобедренный, то у него два угла при основании равны, и оба они составляют $45^\circ$.

Найдем третий угол (угол при вершине), зная, что сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$:

$180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Следовательно, углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: 45°, 45°, 90°.

233 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.

В равнобедренном треугольнике по определению две стороны равны, а углы при основании (третьей стороне) равны между собой. Сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

а)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $40^\circ$. Необходимо рассмотреть два возможных случая, так как этот угол может быть либо углом при вершине, либо углом при основании.

Случай 1: Данный угол является углом при вершине.
Если угол при вершине равен $40^\circ$, то сумма двух других углов (углов при основании) составляет $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
Поскольку углы при основании равны, то каждый из них равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$.
В этом случае углы треугольника равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при основании.
Если угол при основании равен $40^\circ$, то и второй угол при основании также равен $40^\circ$.
Тогда третий угол (угол при вершине) равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
В этом случае углы треугольника равны $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ или $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

б)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $60^\circ$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Данный угол является углом при вершине.
Если угол при вершине равен $60^\circ$, то на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Все углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при основании.
Если угол при основании равен $60^\circ$, то и второй угол при основании равен $60^\circ$.
Тогда угол при вершине равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Все углы треугольника также равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

В обоих случаях мы получаем равносторонний треугольник, который является частным случаем равнобедренного.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

в)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $100^\circ$.

Рассмотрим случай, когда этот угол является углом при основании. Тогда второй угол при основании также должен быть равен $100^\circ$. Сумма этих двух углов составит $100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$. Это невозможно, так как сумма всех трех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. Следовательно, угол в $100^\circ$ не может быть углом при основании.

Таким образом, данный угол может быть только углом при вершине.
Если угол при вершине равен $100^\circ$, то сумма двух равных углов при основании равна $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Следовательно, каждый из углов при основании равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.
Углы треугольника равны $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

234 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны. Это означает, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Из условия задачи известно, что $\angle C = 50^{\circ}$. Так как $\angle BCA$ и $\angle C$ — это один и тот же угол, то $\angle BCA = 50^{\circ}$. Следовательно, $\angle BAC$ также равен $50^{\circ}$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому $\angle DAC = \frac{\angle BAC}{2}$.
Вычислим величину угла $\angle DAC$:
$\angle DAC = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ADC$ справедливо следующее равенство:
$\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180^{\circ}$.
Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle DAC = 25^{\circ}$ и $\angle ACD = \angle C = 50^{\circ}$.
Подставив известные значения, мы можем найти искомый угол $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ACD$
$\angle ADC = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 50^{\circ}$
$\angle ADC = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$.

Ответ: $105^{\circ}$.

235 Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ даны углы $\angle A = 58^\circ$ и $\angle B = 96^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $M$. Необходимо найти угол $AMB$.

Биссектриса угла делит его на два равных угла. Пусть $AM$ и $BM$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Точка $M$ является точкой их пересечения. Отрезки $AM$, $BM$ и сторона $AB$ образуют треугольник $AMB$.

Поскольку $AM$ является биссектрисой угла $A$, угол $\angle MAB$ в треугольнике $AMB$ равен половине угла $A$:
$\angle MAB = \frac{1}{2} \cdot \angle A = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$.

Аналогично, поскольку $BM$ является биссектрисой угла $B$, угол $\angle MBA$ в треугольнике $AMB$ равен половине угла $B$:
$\angle MBA = \frac{1}{2} \cdot \angle B = \frac{96^\circ}{2} = 48^\circ$.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $AMB$ справедливо следующее равенство:
$\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle AMB$, подставим в это равенство найденные значения углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$:
$\angle AMB + 29^\circ + 48^\circ = 180^\circ$.

Сложим известные углы в левой части уравнения:
$\angle AMB + 77^\circ = 180^\circ$.

Теперь выразим $\angle AMB$:
$\angle AMB = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$.

Ответ: $103^\circ$.

236 Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

По условию, в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, то есть $AM = \frac{1}{2} BC$.

Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Отсюда следует, что $BM = MC = \frac{1}{2} BC$.

Таким образом, мы имеем равенство трех отрезков: $AM = BM = MC$. Это означает, что медиана $AM$ делит исходный треугольник $ABC$ на два равнобедренных треугольника: $\triangle ABM$ (поскольку $AM = BM$) и $\triangle ACM$ (поскольку $AM = MC$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому:
- в $\triangle ABM$ имеем $\angle BAM = \angle ABM$ (то есть $\angle B$);
- в $\triangle ACM$ имеем $\angle CAM = \angle ACM$ (то есть $\angle C$).

Угол $\angle BAC$ исходного треугольника является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle CAM$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \angle B + \angle C$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^\circ$: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим в это уравнение выражение для $\angle BAC$, полученное ранее: $(\angle B + \angle C) + (\angle B + \angle C) = 180^\circ$
$2(\angle B + \angle C) = 180^\circ$
$\angle B + \angle C = 90^\circ$.

Поскольку $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle B$ и $\angle C$, то $\angle BAC = 90^\circ$.

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что угол $\angle BAC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

237 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

Для проверки данного утверждения рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник.

Пусть в равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ боковые стороны равны ($AB=AC$), а $BC$ — основание. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их величину как $\beta$: $\angle B = \angle C = \beta$. Угол при вершине $A$ обозначим как $\alpha$.

Рассмотрим внешний угол треугольника при вершине $A$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для внешнего угла при вершине $A$ такими углами являются углы при основании $\angle B$ и $\angle C$.

Таким образом, величина внешнего угла при вершине $A$ составляет:
$Внешний \ \angle A = \angle B + \angle C = \beta + \beta = 2\beta$.

Утверждение гласит, что "один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом".

Мы нашли такой внешний угол — это угол при вершине $A$, его величина равна $2\beta$.
Мы также нашли угол, не смежный с ним — это угол при основании $\angle B$ (или $\angle C$), его величина равна $\beta$.
Сравнивая их, получаем $2\beta = 2 \times \beta$. Это означает, что внешний угол при вершине $A$ ровно в два раза больше угла при основании $\beta$.

Поскольку это соотношение выполняется для любого равнобедренного треугольника, исходное утверждение является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.

238 Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Продолжим сторону $AB$ за вершину $B$ и получим луч $BD$. Угол $\angle DBC$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $B$.

По теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle DBC = \angle BAC + \angle BCA$

Поскольку в нашем равнобедренном треугольнике $\angle BAC = \angle BCA$, мы можем записать:
$\angle DBC = 2 \cdot \angle BCA$

Проведем биссектрису $BE$ внешнего угла $\angle DBC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle DBC$

Подставив в это равенство выражение для $\angle DBC$, получим:
$\angle EBC = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle BCA) = \angle BCA$

Теперь рассмотрим прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими углами. Так как мы доказали, что эти углы равны ($\angle EBC = \angle BCA$), то по признаку параллельности прямых, прямая $BE$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса $BE$ внешнего угла $\angle DBC$ и основание $AC$ образуют равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) с секущей $BC$, следовательно, прямая $BE$ параллельна основанию $AC$.

239 Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Задача о нахождении углов равнобедренного треугольника, зная один из его внешних углов, имеет два возможных решения, так как внешний угол может быть смежным либо с углом при основании, либо с углом при вершине.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также, внешний и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.

Случай 1: Внешний угол смежен с углом при основании треугольника.

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с одним из углов при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем внутренний угол при основании, смежный с внешним:

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Так как углы при основании равны, то второй угол при основании также равен $65^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $65^\circ$, $65^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Случай 2: Внешний угол смежен с углом при вершине треугольника.

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с углом при вершине. Найдем внутренний угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Сумма двух других углов (углов при основании) равна:

$180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то каждый из них равен:

$\alpha = 115^\circ / 2 = 57.5^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $57.5^\circ$, $57.5^\circ$ и $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ, 57.5^\circ, 57.5^\circ$.

Поскольку в условии задачи не уточнено, при какой вершине находится данный внешний угол, оба варианта являются верными решениями.

240 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Боковые стороны также равны: $AB = BC$.

Обозначим величину равных углов при основании как $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle CAD = \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому эти углы являются смежными. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. $\angle ADC + \angle ADB = 180^\circ$

Нам дано, что $\angle ADB = 110^\circ$. Используя это, найдем величину угла $\angle ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ADC$ это записывается как: $\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Подставим в это равенство известные нам значения и выражения через $\alpha$: $\frac{\alpha}{2} + \alpha + 70^\circ = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $\alpha$: $\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 70^\circ$ $\frac{3\alpha}{2} = 110^\circ$ $3\alpha = 110^\circ \cdot 2$ $3\alpha = 220^\circ$ $\alpha = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$

Мы нашли углы при основании треугольника $ABC$: $\angle BAC = \alpha = 73\frac{1}{3}^\circ$ $\angle BCA = \alpha = 73\frac{1}{3}^\circ$

Осталось найти третий угол, $\angle ABC$. Используем свойство о сумме углов в треугольнике $ABC$: $\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$ $\angle ABC + \alpha + \alpha = 180^\circ$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$

Подставляем найденное значение $\alpha$: $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \frac{220^\circ}{3} = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3} = \frac{540^\circ}{3} - \frac{440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $\angle A = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle C = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle B = 33\frac{1}{3}^\circ$.