Номер 235, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 235, страница 71.

235 Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ даны углы $\angle A = 58^\circ$ и $\angle B = 96^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $M$. Необходимо найти угол $AMB$.

Биссектриса угла делит его на два равных угла. Пусть $AM$ и $BM$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Точка $M$ является точкой их пересечения. Отрезки $AM$, $BM$ и сторона $AB$ образуют треугольник $AMB$.

Поскольку $AM$ является биссектрисой угла $A$, угол $\angle MAB$ в треугольнике $AMB$ равен половине угла $A$:
$\angle MAB = \frac{1}{2} \cdot \angle A = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$.

Аналогично, поскольку $BM$ является биссектрисой угла $B$, угол $\angle MBA$ в треугольнике $AMB$ равен половине угла $B$:
$\angle MBA = \frac{1}{2} \cdot \angle B = \frac{96^\circ}{2} = 48^\circ$.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $AMB$ справедливо следующее равенство:
$\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle AMB$, подставим в это равенство найденные значения углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$:
$\angle AMB + 29^\circ + 48^\circ = 180^\circ$.

Сложим известные углы в левой части уравнения:
$\angle AMB + 77^\circ = 180^\circ$.

Теперь выразим $\angle AMB$:
$\angle AMB = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$.

Ответ: $103^\circ$.