Номер 232, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 232, страница 71.

232 Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

а)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $x$.

Согласно условию, угол при основании в 2 раза больше угла при вершине, то есть он равен $2x$. Так как в равнобедренном треугольнике два угла при основании, то оба они равны $2x$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Составим и решим уравнение, сложив все три угла:

$x + 2x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $36^\circ$.

Теперь найдем углы при основании:

$2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Итак, углы треугольника равны $36^\circ$, $72^\circ$ и $72^\circ$.

Ответ: 36°, 72°, 72°.

б)

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$. Внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом, равен их разности с $180^\circ$. Значит, внешний угол, смежный с углом при основании $\alpha$, равен $180^\circ - \alpha$.

По условию задачи, угол при основании в 3 раза меньше смежного с ним внешнего угла. Это можно записать в виде уравнения:

$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3\alpha = 180^\circ - \alpha$

Перенесем $\alpha$ в левую часть уравнения:

$3\alpha + \alpha = 180^\circ$

$4\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{4}$

$\alpha = 45^\circ$

Мы нашли величину угла при основании. Так как треугольник равнобедренный, то у него два угла при основании равны, и оба они составляют $45^\circ$.

Найдем третий угол (угол при вершине), зная, что сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$:

$180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Следовательно, углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: 45°, 45°, 90°.