Номер 230, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 230, страница 71.

230 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник, назовём его $ABC$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, в треугольнике $ABC$ стороны равны: $AB = BC = CA$.

В любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Это свойство равнобедренного треугольника, а равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. Так как в нашем треугольнике $AB = BC$, то углы, лежащие напротив этих сторон, равны: $\angle C = \angle A$. Аналогично, так как $BC = CA$, то равны углы $\angle A = \angle B$. Отсюда следует, что все три угла треугольника $ABC$ равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается как: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку мы установили, что все углы равны, мы можем заменить $\angle B$ и $\angle C$ на $\angle A$ в уравнении суммы углов:
$\angle A + \angle A + \angle A = 180^\circ$
$3 \cdot \angle A = 180^\circ$

Из этого уравнения находим величину угла $\angle A$:
$\angle A = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Так как все углы треугольника равны ($\angle A = \angle B = \angle C$), то каждый из них равен $60^\circ$. Таким образом, мы доказали, что каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.