Номер 239, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 239, страница 71.

239 Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Задача о нахождении углов равнобедренного треугольника, зная один из его внешних углов, имеет два возможных решения, так как внешний угол может быть смежным либо с углом при основании, либо с углом при вершине.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также, внешний и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.

Случай 1: Внешний угол смежен с углом при основании треугольника.

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с одним из углов при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем внутренний угол при основании, смежный с внешним:

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Так как углы при основании равны, то второй угол при основании также равен $65^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $65^\circ$, $65^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Случай 2: Внешний угол смежен с углом при вершине треугольника.

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с углом при вершине. Найдем внутренний угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Сумма двух других углов (углов при основании) равна:

$180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то каждый из них равен:

$\alpha = 115^\circ / 2 = 57.5^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $57.5^\circ$, $57.5^\circ$ и $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ, 57.5^\circ, 57.5^\circ$.

Поскольку в условии задачи не уточнено, при какой вершине находится данный внешний угол, оба варианта являются верными решениями.