Номер 16, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых. Вопросы для повторения к главе 3 - номер 16, страница 68.

Условие.

16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

Уточнение:

• Два угла с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
• Сумма двух углов с соответственно параллельными сторонами равна $180^\circ$, если один из них острый, а другой — тупой.

Доказательство

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, стороны которых соответственно параллельны. Для доказательства рассмотрим два возможных случая, основанных на взаимном направлении лучей, образующих углы.

Случай 1: Стороны углов соответственно сонаправлены.

Пусть $\angle AOB$ (угол 1) и $\angle A_1O_1B_1$ (угол 2) таковы, что их стороны соответственно сонаправлены, то есть луч $OA$ сонаправлен с лучом $O_1A_1$ ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$), а луч $OB$ сонаправлен с лучом $O_1B_1$ ($OB \uparrow\uparrow O_1B_1$).

Продолжим луч $O_1A_1$ до пересечения со стороной $OB$ угла $\angle AOB$. Обозначим точку пересечения как $C$.

1. Так как $OA \parallel O_1C$ (по условию $OA \parallel O_1A_1$) и прямая $OB$ является их секущей, то соответственные углы равны: $\angle AOB = \angle A_1CB$.
2. Так как $OB \parallel O_1B_1$ (а значит, и $CB \parallel O_1B_1$) и прямая $O_1A_1$ является их секущей, то соответственные углы также равны: $\angle A_1CB = \angle A_1O_1B_1$.
3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, по свойству транзитивности следует, что $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

Если стороны углов соответственно противонаправлены ($OA \uparrow\downarrow O_1A_1$ и $OB \uparrow\downarrow O_1B_1$), то $\angle A_1O_1B_1$ будет равен углу, вертикальному к нему. У этого вертикального угла стороны будут сонаправлены сторонам $\angle AOB$, и, следовательно, по доказанному выше, он будет равен $\angle AOB$. Значит, и в этом случае $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$.

Случай 2: Одна пара сторон сонаправлена, а другая — противонаправлена.

Пусть луч $OA$ сонаправлен лучу $O_1A_1$ ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$), а луч $OB$ противонаправлен лучу $O_1B_1$ ($OB \uparrow\downarrow O_1B_1$).

1. Построим луч $O_1B_2$, дополнительный к лучу $O_1B_1$. Тогда луч $O_1B_2$ будет сонаправлен лучу $OB$.
2. Рассмотрим углы $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_2$. Их стороны соответственно сонаправлены ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$ и $OB \uparrow\uparrow O_1B_2$). Согласно доказанному в Случае 1, эти углы равны: $\angle AOB = \angle A_1O_1B_2$.
3. Углы $\angle A_1O_1B_1$ и $\angle A_1O_1B_2$ являются смежными, так как лучи $O_1B_1$ и $O_1B_2$ лежат на одной прямой и выходят из одной точки. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A_1O_1B_1 + \angle A_1O_1B_2 = 180^\circ$.
4. Подставим в последнее равенство $\angle AOB$ вместо равного ему угла $\angle A_1O_1B_2$. Получим: $\angle A_1O_1B_1 + \angle AOB = 180^\circ$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и доказали теорему.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме дают $180^\circ$.