Номер 204, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 204, страница 66.

204 Прямая р параллельна стороне AB треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

Данную задачу докажем методом от противного. Утверждение, которое нужно доказать, состоит из двух частей: 1) прямая $BC$ пересекает прямую $p$; 2) прямая $AC$ пересекает прямую $p$. Докажем последовательно обе части.

Доказательство для прямой BC

Предположим, что прямая $BC$ не пересекает прямую $p$. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, наше предположение равносильно тому, что $BC \parallel p$.

По условию задачи прямая $p$ параллельна стороне $AB$ треугольника, то есть $p \parallel AB$.

Теперь у нас есть два утверждения: $BC \parallel p$ (наше предположение) и $p \parallel AB$ (условие). Согласно свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые по отдельности параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем заключить, что $BC \parallel AB$.

Однако прямые $BC$ и $AB$ являются сторонами треугольника $ABC$ и имеют общую вершину $B$, то есть они пересекаются в точке $B$. Это противоречит выводу о том, что они параллельны.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $BC$ должна пересекать прямую $p$.

Доказательство для прямой AC

Аналогичным образом докажем, что прямая $AC$ пересекает прямую $p$. Снова воспользуемся методом от противного и предположим, что прямая $AC$ не пересекает прямую $p$. Это значит, что $AC \parallel p$.

Из условия мы знаем, что $p \parallel AB$.

Имея $AC \parallel p$ и $p \parallel AB$, по свойству транзитивности параллельных прямых, получаем $AC \parallel AB$.

Но это утверждение вступает в противоречие с тем, что $AC$ и $AB$ — это стороны треугольника $ABC$, которые пересекаются в общей вершине $A$.

Противоречие доказывает, что наше предположение было ложным. Таким образом, прямая $AC$ пересекает прямую $p$.

Мы доказали, что обе прямые, $BC$ и $AC$, пересекают прямую $p$.

Ответ: Что и требовалось доказать.