Номер 197, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Признаки параллельности двух прямых. 26. Практические способы построения параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 197, страница 57.

197 В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.

Для доказательства утверждения воспользуемся признаками параллельности прямых. Нам нужно показать, что биссектриса угла $BCE$ и прямая $AB$ образуют с некоторой секущей равные соответственные или равные накрест лежащие углы.

Дано:
$\triangle ABC$
$\angle A = 40^\circ$
$\angle BCE$ — смежный с $\angle ACB$
$\angle BCE = 80^\circ$

Доказать:
биссектриса $\angle BCE \parallel AB$

Доказательство:

Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Через накрест лежащие углы

1. Угол $BCE$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:$\angle BCE = \angle BAC + \angle ABC$

2. Подставим известные из условия значения:$80^\circ = 40^\circ + \angle ABC$

3. Из этого уравнения находим величину угла $ABC$:$\angle ABC = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$

4. Пусть $CD$ — это биссектриса угла $BCE$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:$\angle BCD = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

5. Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BC$. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними накрест лежащими углами. Мы выяснили, что $\angle ABC = 40^\circ$ и $\angle BCD = 40^\circ$.

6. Так как внутренние накрест лежащие углы равны ($\angle ABC = \angle BCD$), то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, которая является биссектрисой угла $BCE$.

Способ 2: Через соответственные углы

1. Пусть $CD$ — это биссектриса угла $BCE$. Точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, так как $\angle BCE$ является смежным с углом $\angle ACB$. По определению биссектрисы:$\angle DCE = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

2. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ являются соответственными углами.

3. По условию задачи $\angle BAC = 40^\circ$. Как мы нашли в пункте 1, $\angle DCE = 40^\circ$.

4. Поскольку соответственные углы равны ($\angle BAC = \angle DCE$), то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$.

Оба способа доказывают утверждение задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса угла $BCE$ параллельна прямой $AB$, так как накрест лежащие углы ($\angle ABC$ и $\angle BCD$) при секущей $BC$ равны $40^\circ$ (или так как соответственные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ при секущей $AE$ равны $40^\circ$).