Номер 196, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Признаки параллельности двух прямых. 26. Практические способы построения параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 196, страница 57.

196 Отрезок ВK — биссектриса треугольника ABC. Через точку K проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МK. Докажите, что прямые KМ и AB параллельны.

Рассмотрим треугольник $BMK$. По условию задачи дано, что $BM = MK$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $BMK$ — равнобедренный с основанием $BK$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, в треугольнике $BMK$ углы, противолежащие равным сторонам $BM$ и $MK$, равны: $\angle MKB = \angle MBK$.

Также по условию задачи отрезок $BK$ является биссектрисой угла $ABC$. Это означает, что $BK$ делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому угол $\angle MBK$ — это тот же самый угол, что и $\angle KBC$. Следовательно, мы можем объединить полученные равенства: $\angle ABK = \angle KBC = \angle MBK$.

Из равенства $\angle MKB = \angle MBK$ и равенства $\angle ABK = \angle MBK$ следует, что $\angle MKB = \angle ABK$.

Теперь рассмотрим прямые $KM$ и $AB$ и секущую $BK$. Углы $\angle MKB$ и $\angle ABK$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении этих прямых секущей.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы доказали, что $\angle MKB = \angle ABK$, то прямые $KM$ и $AB$ параллельны ($KM \parallel AB$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о параллельности прямых $KM$ и $AB$ доказано.