Номер 190, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 190, страница 52.

190 С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Для того чтобы разделить данный отрезок на четыре равные части с помощью циркуля и линейки, необходимо последовательно дважды выполнить построение для деления отрезка пополам. Сначала мы разделим исходный отрезок на две равные части, а затем каждую из этих частей разделим еще на две.

Построение

Пусть нам дан отрезок $AB$.

1. Находим середину отрезка $AB$.
   • Установим ножку циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности с радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
   • Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B$ и начертим вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках. Назовем эти точки $C_1$ и $C_2$.
   • С помощью линейки соединим точки $C_1$ и $C_2$ прямой линией.
   • Точка пересечения прямой $C_1C_2$ и отрезка $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку буквой $M$. Теперь у нас есть два равных отрезка: $AM = MB$.
2. Находим середины отрезков $AM$ и $MB$.
   • Теперь повторим описанную выше процедуру для отрезка $AM$. Построим две пересекающиеся дуги из точек $A$ и $M$ (с радиусом, большим половины $AM$). Прямая, проходящая через точки их пересечения, пересечет отрезок $AM$ в его середине. Обозначим эту точку буквой $P$. Теперь $AP = PM$.
   • Аналогично, найдем середину отрезка $MB$. Построим пересекающиеся дуги из точек $M$ и $B$ и найдем точку их пересечения с отрезком $MB$. Обозначим эту точку буквой $Q$. Теперь $MQ = QB$.

В результате этих построений мы получили три точки $P$, $M$ и $Q$, которые делят исходный отрезок $AB$ на четыре части: $AP$, $PM$, $MQ$ и $QB$.

Доказательство

Докажем, что полученные четыре отрезка равны.

1. При построении середины отрезка $AB$ мы нашли точки $C_1$ и $C_2$, которые равноудалены от точек $A$ и $B$. Это значит, что $AC_1=BC_1$ и $AC_2=BC_2$. Следовательно, прямая $C_1C_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
2. Точка $M$, как точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком, является его серединой по определению. Таким образом, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.
3. Аналогично доказывается, что точка $P$ — середина отрезка $AM$, то есть $AP = PM = \frac{1}{2}AM$.
4. И точка $Q$ — середина отрезка $MB$, то есть $MQ = QB = \frac{1}{2}MB$.
5. Так как $AM = MB$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MB$. Отсюда следует, что все четыре отрезка равны между собой: $AP = PM = MQ = QB$.
6. Длина каждого из этих отрезков составляет четверть от длины исходного отрезка: $AP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Таким образом, построение выполнено верно, и отрезок $AB$ разделен на четыре равные части.

Ответ: Требуемое построение для деления отрезка на четыре равные части выполнено путем последовательного деления пополам сначала исходного отрезка, а затем двух получившихся половин.