Номер 188, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 188, страница 52.

188 Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC = PQ.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая вершина $C$ треугольника $ABC$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Вершина $C$ должна лежать на данной окружности.
2. Длина стороны $AC$ должна быть равна длине отрезка $PQ$, то есть $AC = PQ$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это сама данная окружность. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, — это все точки, удаленные от точки $A$ на расстояние, равное $PQ$. Таким множеством является окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r = PQ$.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест — данной окружности и окружности, построенной с центром в $A$ и радиусом $PQ$.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$. Для этого устанавливаем иглу циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$.
3. Находим точки пересечения построенной вспомогательной окружности с данной в условии окружностью. Эти точки (если они существуют) и будут являться искомой вершиной $C$.
4. Соединяем точки $A$, $B$ и одну из найденных точек пересечения $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Пусть $C$ — одна из точек, полученных в результате построения. Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Вершина $C$ лежит на данной окружности, так как она является точкой пересечения этой окружности с построенной вспомогательной окружностью.
• Сторона $AC$ равна длине отрезка $PQ$, так как точка $C$ лежит на вспомогательной окружности с центром в $A$ и радиусом, равным $PQ$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Количество возможных решений задачи зависит от взаимного расположения данной окружности (назовем ее $\omega_1$) и построенной вспомогательной окружности (назовем ее $\omega_2$). Пусть $O$ — центр и $R$ — радиус окружности $\omega_1$, а $A$ — центр и $r = PQ$ — радиус окружности $\omega_2$. Пусть $d = OA$ — расстояние между их центрами.

• Два решения. Если окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в двух точках. Это возможно при выполнении условия $|R-r| < d < R+r$. В этом случае существуют две возможные вершины ($C_1$ и $C_2$) и, соответственно, два искомых треугольника: $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.
• Одно решение. Если окружности касаются друг друга в одной точке. Это возможно, если $d = R+r$ (внешнее касание) или $d = |R-r|$ (внутреннее касание, при $d \neq 0$). В этом случае существует единственная вершина $C$ и один искомый треугольник.
• Нет решений. Если окружности не имеют общих точек. Это возможно, если $d > R+r$ (одна окружность вне другой) или $d < |R-r|$ (одна окружность внутри другой без касания). В этом случае найти вершину $C$ невозможно, и задача не имеет решений.
• Бесконечно много решений. Этот случай возникает, когда окружности совпадают. Для этого необходимо, чтобы их центры совпадали ($O=A$, то есть $d=0$) и радиусы были равны ($R=r=PQ$). Тогда любая точка данной окружности может быть выбрана в качестве вершины $C$.

Ответ: Для построения искомого треугольника $ABC$ необходимо построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Точки пересечения этой окружности с данной в условии окружностью являются возможными положениями вершины $C$. Соединив точки $A$, $B$ и одну из найденных точек $C$, получим искомый треугольник. Задача может иметь два, одно, ноль или бесконечно много решений в зависимости от исходных данных.