Страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

178* Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник, обозначим его $\triangle ABC$. Его внутренние углы при вершинах A, B и C обозначим как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно.

Возьмем угол, смежный с одним из углов треугольника, например, с углом $\angle C$. Этот смежный угол является внешним углом треугольника. Обозначим его как $\angle BCD$, где точка D лежит на продолжении стороны $AC$ за вершину $C$. Нам необходимо доказать, что этот внешний угол больше каждого из двух других внутренних углов треугольника, то есть нужно доказать неравенства: $\angle BCD > \angle A$ и $\angle BCD > \angle B$.

Доказательство основывается на двух ключевых свойствах. Первое – это свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$. Для наших углов это означает, что $\angle C + \angle BCD = 180^{\circ}$. Из этого соотношения мы можем выразить величину внешнего угла: $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle C$.

Второе – это теорема о сумме углов треугольника. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Для $\triangle ABC$ это записывается как $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. Из этого равенства мы можем выразить сумму углов $\angle A$ и $\angle B$: $\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle C$.

Теперь, сравнивая два полученных выражения, мы видим, что правые части у них одинаковы ($180^{\circ} - \angle C$). Следовательно, их левые части также должны быть равны: $\angle BCD = \angle A + \angle B$. Это известное свойство внешнего угла треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Поскольку в любом невырожденном треугольнике каждый внутренний угол имеет положительную градусную меру, то есть $\angle A > 0^{\circ}$ и $\angle B > 0^{\circ}$. Исходя из равенства $\angle BCD = \angle A + \angle B$, мы можем сделать следующие выводы: так как к величине $\angle A$ прибавляется положительная величина $\angle B$, то их сумма $\angle BCD$ будет больше, чем $\angle A$. Аналогично, так как к величине $\angle B$ прибавляется положительная величина $\angle A$, то их сумма $\angle BCD$ будет больше, чем $\angle B$.

Таким образом, мы строго доказали, что $\angle BCD > \angle A$ и $\angle BCD > \angle B$. Это означает, что угол, смежный с углом треугольника, всегда больше каждого из двух других углов этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Внешний угол треугольника (угол, смежный с углом треугольника) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поскольку внутренние углы треугольника всегда являются положительными величинами, внешний угол строго больше каждого из этих двух углов.

179* Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ВС = B₁С₁.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие равенства:
1. $\angle A = \angle A_1$
2. $\angle B = \angle B_1$
3. $BC = B_1C_1$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая утверждает, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle ABC$ мы можем выразить угол $\angle C$ через два других известных угла:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Аналогично, для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ выразим угол $\angle C_1$:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$

Так как по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, мы можем заменить углы в выражении для $\angle C_1$ на равные им углы из $\triangle ABC$. Получим:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Сравнивая выражения для $\angle C$ и $\angle C_1$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$.

Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Рассмотрим элементы треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:
- Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ (по условию).
- Угол $\angle B$, прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle B_1$, прилежащему к стороне $B_1C_1$ (по условию).
- Угол $\angle C$, также прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle C_1$, прилежащему к стороне $B_1C_1$ (как мы доказали выше).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано путём сведения задачи ко второму признаку равенства треугольников.

180* На сторонах угла ХОY отмечены точки A, B, C и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 103). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Докажите, что луч OE — биссектриса угла XOY.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $.

2. По условию задачи $ OA = OB $ и $ AC = BD $. Точки $ A, C $ лежат на луче $ OX $, а точки $ B, D $ — на луче $ OY $. Следовательно, длины отрезков $ OC $ и $ OD $ можно выразить как $ OC = OA + AC $ и $ OD = OB + BD $. Поскольку правые части этих равенств равны, то $ OC = OD $.

3. В треугольниках $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $:

• $ OA = OB $ (по условию);
• $ OD = OC $ (как доказано выше);
• $ \angle XOY $ — общий угол.

Следовательно, $ \triangle OAD \cong \triangle OBC $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $ следует равенство их соответствующих углов и сторон. В частности, $ \angle ODA = \angle OCB $ и $ AD = BC $.

5. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $.

• $ OC = OD $ (как доказано в п. 2).
• $ OE $ — общая сторона.

6. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACE $ и $ \triangle BDE $. В них:

• $ AC = BD $ (по условию).
• $ \angle ACE = \angle BDE $ (это те же углы, что и $ \angle OCB $ и $ \angle ODA $, равенство которых доказано в п. 4).
• $ \angle AEC = \angle BED $ (как вертикальные углы).

Следовательно, $ \triangle ACE \cong \triangle BDE $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует, что $ CE = DE $.

7. Вернемся к треугольникам $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $ из п. 5. Мы установили, что:

• $ OC = OD $;
• $ CE = DE $;
• $ OE $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle OCE \cong \triangle ODE $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

8. Из равенства треугольников $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $ следует равенство их соответствующих углов: $ \angle COE = \angle DOE $. Это означает, что луч $ OE $ делит угол $ XOY $ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Утверждение доказано.

Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Для построения биссектрисы данного угла $XOY$ с помощью циркуля и линейки без делений, основываясь на доказанном факте, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Установить ножку циркуля в вершину угла, точку $O$, и провести дугу произвольного радиуса $r_1$, которая пересечет стороны угла в точках $A$ (на луче $OX$) и $B$ (на луче $OY$). Таким образом, мы получаем равные отрезки $OA = OB$.
2. Из точек $A$ и $B$ провести две дуги одинакового произвольного радиуса $r_2$ так, чтобы они пересекли лучи $OX$ и $OY$ соответственно в точках $C$ и $D$, лежащих дальше от вершины $O$. То есть, точка $C$ лежит на луче $OX$ за точкой $A$, а точка $D$ — на луче $OY$ за точкой $B$. Таким образом, мы получаем равные отрезки $AC = BD = r_2$.
3. С помощью линейки соединить точку $A$ с точкой $D$ и точку $B$ с точкой $C$.
4. Отметить точку $E$ как точку пересечения отрезков $AD$ и $BC$.
5. С помощью линейки провести луч $OE$.

Согласно доказанной теореме, построенный луч $OE$ будет являться биссектрисой угла $XOY$.

Ответ: Алгоритм построения описан выше в пяти шагах.

181* При решении геометрических задач часто используют дополнительные построения. Одно из таких построений связано с методом удвоения медианы: если AM — медиана треугольника ABC, то строится отрезок АK такой, что точка M является его серединой. Докажите с помощью метода удвоения медианы, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны, если AB = А₁В₁, АС = А₁С₁, АМ = А₁М₁, где АМ и А₁М₁ — медианы треугольников.

Данная задача доказывает признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Для доказательства используется предложенный в условии метод удвоения медианы.

Дано:

Два треугольника $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$.
$AM$ — медиана $?ABC$ к стороне $BC$.
$A_1M_1$ — медиана $?A_1B_1C_1$ к стороне $B_1C_1$.
По условию: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $AM = A_1M_1$.

Доказать:

$?ABC = ?A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение в треугольнике $?ABC$. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $K$ так, что $AM = MK$. Соединим точку $K$ с вершинами $B$ и $C$.

2. В получившемся четырехугольнике $ABKC$ диагонали $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($M$ — середина $AK$ по построению, $M$ — середина $BC$ по определению медианы). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABKC$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма (противоположные стороны равны) имеем: $BK = AC$ и $CK = AB$.

3. Аналогичное построение выполним для треугольника $?A_1B_1C_1$. Продлим медиану $A_1M_1$ до точки $K_1$ так, чтобы $A_1M_1=M_1K_1$. Четырехугольник $A_1B_1K_1C_1$ также является параллелограммом, и для него верны равенства: $B_1K_1 = A_1C_1$ и $C_1K_1 = A_1B_1$.

4. Сравним треугольники $?ABK$ и $?A_1B_1K_1$ по третьему признаку равенства (по трем сторонам):
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AK = 2 \cdot AM$ и $A_1K_1 = 2 \cdot A_1M_1$. Так как $AM = A_1M_1$ (по условию), то $AK = A_1K_1$.
- $BK = AC$ (из п. 2) и $B_1K_1 = A_1C_1$ (из п. 3). Так как $AC = A_1C_1$ (по условию), то $BK = B_1K_1$.
Следовательно, $?ABK = ?A_1B_1K_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $?BAK = ?B_1A_1K_1$, что то же самое, что $?BAM = ?B_1A_1M_1$.

5. Теперь сравним треугольники $?ACK$ и $?A_1C_1K_1$ также по трем сторонам:
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $AK = A_1K_1$ (доказано в п. 4).
- $CK = AB$ (из п. 2) и $C_1K_1 = A_1B_1$ (из п. 3). Так как $AB = A_1B_1$ (по условию), то $CK = C_1K_1$.
Следовательно, $?ACK = ?A_1C_1K_1$. Из этого равенства следует, что $?CAK = ?C_1A_1K_1$, то есть $?CAM = ?C_1A_1M_1$.

6. Теперь мы можем найти величину углов $?BAC$ и $?B_1A_1C_1$.
$?BAC = ?BAM + ?CAM$.
$?B_1A_1C_1 = ?B_1A_1M_1 + ?C_1A_1M_1$.
Так как из предыдущих пунктов мы доказали, что $?BAM = ?B_1A_1M_1$ и $?CAM = ?C_1A_1M_1$, то и полные углы равны: $?BAC = ?B_1A_1C_1$.

7. Наконец, докажем равенство исходных треугольников $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними):
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $?BAC = ?B_1A_1C_1$ (доказано в п. 6).
Таким образом, $?ABC = ?A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано. С помощью метода удвоения медианы были построены параллелограммы $ABKC$ и $A_1B_1K_1C_1$. Сравнение вспомогательных треугольников ($?ABK$ с $?A_1B_1K_1$ и $?ACK$ с $?A_1C_1K_1$) по трем сторонам позволило установить равенство углов $?BAM = ?B_1A_1M_1$ и $?CAM = ?C_1A_1M_1$. Сложив эти углы, мы получили равенство $?BAC = ?B_1A_1C_1$. Это, вместе с данными в условии равенствами сторон $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, доказывает равенство исходных треугольников по первому признаку (две стороны и угол между ними).

182* Даны два треугольника: ABC и A₁В₁C₁. Известно, что AB = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки K и L, а на сторонах А₁С₁ и В₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ — точки K₁ и L₁ так, что АK = А₁K₁, LC = L₁C₁. Докажите, что: a) KL = K₁L₁; б) AL = A₁L₁.

Для начала рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам даны следующие равенства: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности:

• $BC = B_1C_1$
• $\angle C = \angle C_1$

Эти выводы будем использовать для доказательства следующих утверждений.

Рассмотрим треугольники $KLC$ и $K_1L_1C_1$. Чтобы доказать равенство отрезков $KL$ и $K_1L_1$, докажем равенство этих треугольников.

1. Сторона $LC = L_1C_1$ по условию задачи.
2. Угол $\angle C = \angle C_1$ как соответственные углы равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
3. Найдем длину стороны $KC$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $KC = AC - AK$. Аналогично, точка $K_1$ лежит на отрезке $A_1C_1$, поэтому $K_1C_1 = A_1C_1 - A_1K_1$. По условию нам известно, что $AC = A_1C_1$ и $AK = A_1K_1$. Отсюда следует, что $KC = A_1C_1 - A_1K_1 = K_1C_1$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $KLC$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $K_1L_1C_1$: $KC = K_1C_1$, $LC = L_1C_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle KLC \cong \triangle K_1L_1C_1$. Из равенства треугольников вытекает равенство их соответственных сторон, то есть $KL = K_1L_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $KL = K_1L_1$ доказано.

Для доказательства равенства отрезков $AL$ и $A_1L_1$ рассмотрим треугольники $ALC$ и $A_1L_1C_1$.

1. Сторона $AC = A_1C_1$ по условию задачи.
2. Угол $\angle C = \angle C_1$ из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
3. Сторона $LC = L_1C_1$ по условию задачи.

Мы имеем две стороны ($AC$ и $LC$) и угол между ними ($\angle C$) в треугольнике $ALC$, которые соответственно равны двум сторонам ($A_1C_1$ и $L_1C_1$) и углу между ними ($\angle C_1$) в треугольнике $A_1L_1C_1$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ALC \cong \triangle A_1L_1C_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $AL = A_1L_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $AL = A_1L_1$ доказано.

183* Даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно, то есть все три отрезка равны друг другу: $AD = BD = CD$.

Пусть длина этих равных отрезков равна некоему значению $R$. По определению, множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра), является окружностью. В нашем случае, поскольку точки $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии $R$ от точки $D$, они все должны лежать на окружности с центром в точке $D$ и радиусом $R$.

Однако по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Так как в задаче рассматриваются три отрезка $AD$, $BD$ и $CD$, мы исходим из того, что точки $A$, $B$ и $C$ различны. Известно, что прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек пересечения. Следовательно, три различные точки $A$, $B$ и $C$ не могут одновременно принадлежать и одной прямой, и одной окружности.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Таким образом, равенство $AD = BD = CD$ невозможно. А это и означает, что по крайней мере два из трёх отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ не равны друг другу.

Ответ: Что и требовалось доказать.

184* На боковых сторонах AB и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB = ∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.

Рассмотрим треугольники $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$.

Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, его углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Так как точка $P$ лежит на стороне $AB$ и точка $Q$ — на стороне $AC$, то $\angle PBX = \angle QCX$.

По условию, точка $X$ является серединой стороны $BC$, следовательно, отрезки $BX$ и $CX$ равны: $BX = CX$.

Также по условию нам дано равенство углов: $\angle PXB = \angle QXC$.

Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов в треугольниках $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA), заключаем, что $\triangle PXB = \triangle QXC$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $PB$ равна стороне $QC$: $PB = QC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BQC$ и $\triangle CPB$.

Сравним эти два треугольника:
1. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
2. Углы $\angle QBC$ и $\angle PCB$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle ABC$.
3. Стороны $QC$ и $PB$ равны, что было доказано на предыдущем шаге ($QC = PB$).

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle BQC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CPB$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), заключаем, что $\triangle BQC = \triangle CPB$.

Из равенства треугольников $\triangle BQC$ и $\triangle CPB$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BQ$ треугольника $\triangle BQC$ соответствует стороне $CP$ треугольника $\triangle CPB$. Следовательно, $BQ = CP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BQ = CP$ доказано.

185 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Для решения данной задачи на построение используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая окружность должна удовлетворять трем условиям: иметь заданный радиус $R$, проходить через заданную точку $P$ и ее центр $O$ должен лежать на заданной прямой $l$.

Анализ и метод решения

Центр искомой окружности, точка $O$, должен удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Он должен лежать на данной прямой $l$. Это означает, что прямая $l$ является первым геометрическим местом точек для центра $O$.
2. Он должен находиться на расстоянии, равном данному радиусу $R$, от данной точки $P$ (поскольку окружность проходит через точку $P$). Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $P$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в $P$ и радиусом $R$. Это второе геометрическое место точек для центра $O$.

Таким образом, чтобы найти центр искомой окружности, необходимо найти точки пересечения этих двух геометрических мест: прямой $l$ и окружности с центром в $P$ и радиусом $R$.

Алгоритм построения

Пусть нам даны прямая $l$, точка $P$ и отрезок, равный радиусу $R$.

1. С помощью циркуля строим вспомогательную окружность с центром в точке $P$ и радиусом $R$.
2. Находим точки пересечения построенной вспомогательной окружности с данной прямой $l$. Эти точки (если они существуют) и будут центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.
3. Устанавливаем ножку циркуля в каждую из найденных точек пересечения (например, в $O_1$) и тем же раствором циркуля (радиусом $R$) строим окружность.

Построенная окружность (или окружности) будет искомой, так как ее центр лежит на прямой $l$, а расстояние от центра до точки $P$ равно $R$ (по построению), значит, окружность проходит через точку $P$.

Исследование числа решений

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $l$ и вспомогательной окружности, построенной с центром в точке $P$ и радиусом $R$. Пусть $d$ — это кратчайшее расстояние от точки $P$ до прямой $l$.

• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ меньше радиуса $R$ ($d < R$), то прямая и окружность пересекутся в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ равно радиусу $R$ ($d = R$), то прямая будет касаться окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ больше радиуса $R$ ($d > R$), то прямая и окружность не будут иметь общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить окружность с центром в данной точке $P$ и радиусом, равным данному радиусу $R$. Точки пересечения этой окружности с данной прямой $l$ будут центрами искомых окружностей. После нахождения центров строятся сами окружности с данным радиусом $R$. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от расстояния от точки $P$ до прямой $l$.

186 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Анализ

Пусть $O$ — центр искомой окружности радиуса $R$, которая проходит через данные точки $A$ и $B$. По определению окружности, расстояние от центра до любой её точки равно радиусу. Следовательно, для центра $O$ должны выполняться условия $OA = R$ и $OB = R$.

Это означает, что центр $O$ должен удовлетворять двум требованиям: находиться на расстоянии $R$ от точки $A$ и на расстоянии $R$ от точки $B$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $R$, есть окружность с центром в $A$ и радиусом $R$. Аналогично для точки $B$. Таким образом, искомый центр $O$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в $A$ и радиусом $R$, и другой с центром в $B$ и радиусом $R$.

Построение

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным данному радиусу $R$.
2. Поставим острие циркуля в точку $A$ и проведем окружность (или достаточно большую дугу) $\omega_1$.
3. Не меняя раствора циркуля, поставим его острие в точку $B$ и проведем окружность (или дугу) $\omega_2$.
4. Если окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются, обозначим точки их пересечения $O_1$ и $O_2$. Эти точки являются центрами искомых окружностей.
5. Поставим острие циркуля в точку $O_1$ и, сохранив радиус $R$, проведем окружность. Эта окружность будет проходить через точки $A$ и $B$.
6. Если существует вторая точка пересечения $O_2$, аналогично построим вторую искомую окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R$.

Доказательство

Рассмотрим окружность, построенную с центром в точке $O_1$. По построению, точка $O_1$ лежит на пересечении окружности $\omega_1$ (с центром $A$ и радиусом $R$) и окружности $\omega_2$ (с центром $B$ и радиусом $R$). Так как $O_1$ принадлежит $\omega_1$, то расстояние $O_1A = R$. Так как $O_1$ принадлежит $\omega_2$, то расстояние $O_1B = R$. Следовательно, окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R$ проходит через обе точки $A$ и $B$ и имеет заданный радиус. Доказательство для окружности с центром в $O_2$ (если она существует) аналогично.

Исследование

Количество решений задачи зависит от соотношения между данным радиусом $R$ и расстоянием между точками $A$ и $B$, которое обозначим через $d$.

• Два решения: если $R > d/2$ (что эквивалентно $2R > d$). В этом случае вспомогательные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в двух точках. Существуют две искомые окружности.
• Одно решение: если $R = d/2$ (что эквивалентно $2R = d$). В этом случае вспомогательные окружности касаются в одной точке, которая является серединой отрезка $AB$. Существует одна искомая окружность, для которой отрезок $AB$ является диаметром.
• Нет решений: если $R < d/2$ (что эквивалентно $2R < d$). В этом случае вспомогательные окружности не имеют общих точек, так как расстояние между $A$ и $B$ слишком велико. Построение невозможно.

Ответ: Для построения искомой окружности (или окружностей) следует провести две вспомогательные окружности с центрами в данных точках $A$ и $B$ и радиусом, равным данному. Точки пересечения этих вспомогательных окружностей будут являться центрами искомых окружностей. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от соотношения между заданным радиусом и расстоянием между данными точками.

187 Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC = PQ.

Для решения задачи необходимо найти положение вершины $C$ треугольника $ABC$. Согласно условию, эта вершина должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, лежать на прямой $a$, и во-вторых, находиться на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, от вершины $A$ ($AC = PQ$).

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию — это сама прямая $a$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = PQ$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения прямой $a$ и этой окружности.

Алгоритм построения следующий:
1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим окружность (или ее дугу, достаточную для пересечения с прямой $a$) радиусом $R=PQ$.
3. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ являются возможными положениями вершины $C$.
4. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и каждую из найденных точек $C$, чтобы получить искомый треугольник (или треугольники) $ABC$.

Построенная точка $C$ по определению лежит на прямой $a$. Так как она также лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $R=PQ$, то расстояние $AC$ равно $PQ$. Таким образом, оба условия задачи выполнены, и построение корректно.

Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения прямой $a$ и построенной окружности. Пусть $d$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$ (длина перпендикуляра).
• Если расстояние $d$ меньше длины отрезка $PQ$ ($d < PQ$), то прямая и окружность пересекутся в двух точках. Задача будет иметь два решения.
• Если расстояние $d$ равно длине отрезка $PQ$ ($d = PQ$), то прямая будет касаться окружности в одной точке. Задача будет иметь одно решение.
• Если расстояние $d$ больше длины отрезка $PQ$ ($d > PQ$), то прямая и окружность не будут иметь общих точек. Задача не будет иметь решений.

Ответ: Для построения треугольника $ABC$ необходимо найти точки пересечения прямой $a$ и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Найденные точки пересечения будут являться вершиной $C$. Затем следует соединить точки $A$, $B$ и $C$. В зависимости от взаимного расположения точки $A$, прямой $a$ и длины отрезка $PQ$, задача может иметь два, одно или ни одного решения.

188 Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC = PQ.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая вершина $C$ треугольника $ABC$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Вершина $C$ должна лежать на данной окружности.
2. Длина стороны $AC$ должна быть равна длине отрезка $PQ$, то есть $AC = PQ$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это сама данная окружность. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, — это все точки, удаленные от точки $A$ на расстояние, равное $PQ$. Таким множеством является окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r = PQ$.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест — данной окружности и окружности, построенной с центром в $A$ и радиусом $PQ$.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$. Для этого устанавливаем иглу циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$.
3. Находим точки пересечения построенной вспомогательной окружности с данной в условии окружностью. Эти точки (если они существуют) и будут являться искомой вершиной $C$.
4. Соединяем точки $A$, $B$ и одну из найденных точек пересечения $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Пусть $C$ — одна из точек, полученных в результате построения. Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Вершина $C$ лежит на данной окружности, так как она является точкой пересечения этой окружности с построенной вспомогательной окружностью.
• Сторона $AC$ равна длине отрезка $PQ$, так как точка $C$ лежит на вспомогательной окружности с центром в $A$ и радиусом, равным $PQ$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Количество возможных решений задачи зависит от взаимного расположения данной окружности (назовем ее $\omega_1$) и построенной вспомогательной окружности (назовем ее $\omega_2$). Пусть $O$ — центр и $R$ — радиус окружности $\omega_1$, а $A$ — центр и $r = PQ$ — радиус окружности $\omega_2$. Пусть $d = OA$ — расстояние между их центрами.

• Два решения. Если окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в двух точках. Это возможно при выполнении условия $|R-r| < d < R+r$. В этом случае существуют две возможные вершины ($C_1$ и $C_2$) и, соответственно, два искомых треугольника: $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.
• Одно решение. Если окружности касаются друг друга в одной точке. Это возможно, если $d = R+r$ (внешнее касание) или $d = |R-r|$ (внутреннее касание, при $d \neq 0$). В этом случае существует единственная вершина $C$ и один искомый треугольник.
• Нет решений. Если окружности не имеют общих точек. Это возможно, если $d > R+r$ (одна окружность вне другой) или $d < |R-r|$ (одна окружность внутри другой без касания). В этом случае найти вершину $C$ невозможно, и задача не имеет решений.
• Бесконечно много решений. Этот случай возникает, когда окружности совпадают. Для этого необходимо, чтобы их центры совпадали ($O=A$, то есть $d=0$) и радиусы были равны ($R=r=PQ$). Тогда любая точка данной окружности может быть выбрана в качестве вершины $C$.

Ответ: Для построения искомого треугольника $ABC$ необходимо построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Точки пересечения этой окружности с данной в условии окружностью являются возможными положениями вершины $C$. Соединив точки $A$, $B$ и одну из найденных точек $C$, получим искомый треугольник. Задача может иметь два, одно, ноль или бесконечно много решений в зависимости от исходных данных.

189 На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равноудалённую от вершин А и С.

Пусть искомая точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$ будет обозначена как $P$. По условию задачи, эта точка должна быть равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что расстояние $AP$ должно быть равно расстоянию $CP$, то есть $AP = CP$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух заданных точек (в нашем случае, $A$ и $C$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AC$).

Поскольку искомая точка $P$ должна одновременно принадлежать стороне $BC$ и быть равноудалённой от вершин $A$ и $C$, она должна находиться на пересечении двух множеств: стороны $BC$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AC$.

Таким образом, алгоритм построения искомой точки следующий:

1. Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого:
   • С помощью циркуля провести из точки $A$ дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AC$.
   • Не меняя раствора циркуля, провести из точки $C$ дугу того же радиуса $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках.
   • С помощью линейки провести прямую через две полученные точки пересечения дуг. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
3. Найти точку пересечения построенного серединного перпендикуляра со стороной $BC$. Эта точка и будет искомой точкой $P$.

Доказательство:
Построенная точка $P$ принадлежит стороне $BC$ (по построению). Так как точка $P$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, она, по свойству серединного перпендикуляра, равноудалена от его концов, то есть $AP = CP$. Таким образом, построенная точка $P$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$ и стороны $BC$ треугольника.

190 С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Для того чтобы разделить данный отрезок на четыре равные части с помощью циркуля и линейки, необходимо последовательно дважды выполнить построение для деления отрезка пополам. Сначала мы разделим исходный отрезок на две равные части, а затем каждую из этих частей разделим еще на две.

Построение

Пусть нам дан отрезок $AB$.

1. Находим середину отрезка $AB$.
   • Установим ножку циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности с радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
   • Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B$ и начертим вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках. Назовем эти точки $C_1$ и $C_2$.
   • С помощью линейки соединим точки $C_1$ и $C_2$ прямой линией.
   • Точка пересечения прямой $C_1C_2$ и отрезка $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку буквой $M$. Теперь у нас есть два равных отрезка: $AM = MB$.
2. Находим середины отрезков $AM$ и $MB$.
   • Теперь повторим описанную выше процедуру для отрезка $AM$. Построим две пересекающиеся дуги из точек $A$ и $M$ (с радиусом, большим половины $AM$). Прямая, проходящая через точки их пересечения, пересечет отрезок $AM$ в его середине. Обозначим эту точку буквой $P$. Теперь $AP = PM$.
   • Аналогично, найдем середину отрезка $MB$. Построим пересекающиеся дуги из точек $M$ и $B$ и найдем точку их пересечения с отрезком $MB$. Обозначим эту точку буквой $Q$. Теперь $MQ = QB$.

В результате этих построений мы получили три точки $P$, $M$ и $Q$, которые делят исходный отрезок $AB$ на четыре части: $AP$, $PM$, $MQ$ и $QB$.

Доказательство

Докажем, что полученные четыре отрезка равны.

1. При построении середины отрезка $AB$ мы нашли точки $C_1$ и $C_2$, которые равноудалены от точек $A$ и $B$. Это значит, что $AC_1=BC_1$ и $AC_2=BC_2$. Следовательно, прямая $C_1C_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
2. Точка $M$, как точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком, является его серединой по определению. Таким образом, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.
3. Аналогично доказывается, что точка $P$ — середина отрезка $AM$, то есть $AP = PM = \frac{1}{2}AM$.
4. И точка $Q$ — середина отрезка $MB$, то есть $MQ = QB = \frac{1}{2}MB$.
5. Так как $AM = MB$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MB$. Отсюда следует, что все четыре отрезка равны между собой: $AP = PM = MQ = QB$.
6. Длина каждого из этих отрезков составляет четверть от длины исходного отрезка: $AP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Таким образом, построение выполнено верно, и отрезок $AB$ разделен на четыре равные части.

Ответ: Требуемое построение для деления отрезка на четыре равные части выполнено путем последовательного деления пополам сначала исходного отрезка, а затем двух получившихся половин.