Страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

16 Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

Что такое определение?

Определение (или дефиниция) — это логическая операция, которая раскрывает содержание понятия. В науке, и в частности в математике, это строгое утверждение, которое объясняет точный смысл нового термина, используя только уже известные, ранее определенные понятия. Качественное определение должно быть ясным, однозначным и не содержать в себе определяемого термина (избегать "логического круга").

Ответ: Определение — это формулировка, точно и однозначно объясняющая сущность и основные свойства какого-либо понятия.

Дайте определение окружности.

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Эта точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом.

Ответ: Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром.

Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

Центр окружности — это точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно обозначается буквой $O$.

Ответ: Центр — это точка, равноудаленная от всех точек окружности.

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности. Также радиусом называют длину этого отрезка. Все радиусы одной окружности равны. Обычно обозначается буквой $r$ или $R$.

Ответ: Радиус — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, а также его длина.

Хорда окружности — это отрезок, который соединяет две любые точки на окружности.

Ответ: Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр окружности — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса, что выражается формулой $D = 2R$, где $D$ — диаметр, а $R$ — радиус.

Ответ: Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности, равная двум радиусам.

17 Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному.

Это одна из основных задач на построение в геометрии, которая решается с помощью циркуля. Пусть нам дан луч $h$ с началом в точке $O$ и отрезок $AB$, который нужно отложить на луче $h$.

Алгоритм построения будет следующим:

1. Измерение данного отрезка: С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $AB$. Для этого установим иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$. Расстояние между ножками циркуля (его раствор) теперь равно длине отрезка $AB$.
2. Перенос длины на луч: Не изменяя раствора циркуля, перенесем его так, чтобы игла оказалась в начале данного луча — в точке $O$.
3. Построение точки на луче: Проведем циркулем дугу так, чтобы она пересекла луч $h$. Точку пересечения дуги и луча обозначим буквой $C$.

Полученный отрезок $OC$ лежит на луче $h$, его начало совпадает с началом луча $O$. Длина отрезка $OC$ равна длине отрезка $AB$, так как он был построен с помощью циркуля с раствором, равным длине $AB$. Согласно аксиоме откладывания отрезков, на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Ответ: Нужно измерить данный отрезок с помощью циркуля, затем, не меняя раствора циркуля, установить его иглу в начало луча и провести дугу, которая пересечет луч. Отрезок, соединяющий начало луча и точку пересечения, будет искомым отрезком, равным данному.

18 Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.

Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, необходимо выполнить последовательность шагов, используя циркуль и линейку. Этот процесс основан на построении треугольника, равного другому треугольнику, по трем сторонам.

Пусть нам дан некоторый угол $\angle A$ и луч с началом в точке $O$.

1. Возьмем циркуль, установим его ножку в вершину $A$ данного угла и проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет стороны угла в двух точках. Назовем эти точки $B$ и $C$.
2. Не изменяя раствор циркуля (то есть сохраняя радиус $r$), установим его ножку в начало данного луча — в точку $O$. Проведем дугу того же радиуса $r$ так, чтобы она пересекла наш луч. Точку пересечения обозначим $D$.
3. Снова вернемся к исходному углу $\angle A$. Измерим циркулем расстояние между точками $B$ и $C$. Для этого установим ножку циркуля в точку $B$ и подберем раствор так, чтобы грифель оказался в точке $C$.
4. Сохраняя полученный раствор циркуля (равный длине отрезка $BC$), установим ножку циркуля в точку $D$ на нашем луче. Проведем новую дугу так, чтобы она пересеклась с дугой, построенной в шаге 2. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $E$.
5. С помощью линейки соединим точку $O$ и точку $E$, проведя луч с началом в $O$.

Полученный угол $\angle DOE$ и есть искомый угол, равный данному углу $\angle BAC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle BAC$, образованный на исходном угле, и $\triangle DOE$, который мы построили. По построению, сторона $AB$ равна стороне $AC$ (как радиусы одной дуги), и они равны сторонам $OD$ и $OE$ (так как радиус $r$ при построении не менялся). Таким образом, $AB = AC = OD = OE = r$. Также по построению мы измерили отрезок $BC$ и построили отрезок $DE$ такой же длины, то есть $BC = DE$. Следовательно, треугольники $\triangle BAC$ и $\triangle DOE$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle BAC = \angle DOE$. Построение верно.

Ответ: Чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, нужно с помощью циркуля и линейки построить на данном луче треугольник, равный треугольнику, который можно образовать на данном угле. Это достигается путем последовательного переноса длин трех сторон (двух равных радиусов и хорды между ними) с помощью циркуля.

19 Объясните, как построить биссектрису данного угла.

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Построение биссектрисы выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений).

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, являющимися лучами $a$ и $b$.

1. Поместить острие циркуля в вершину угла $O$ и провести дугу произвольного, но фиксированного радиуса $R$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках. Назовем их $A$ (на стороне $a$) и $B$ (на стороне $b$).

2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса $r$. Важно, чтобы радиус $r$ был одинаковым для обеих дуг и достаточно большим, чтобы они пересеклись внутри угла (например, можно взять $r = R$ или любой другой подходящий радиус).

3. Точку пересечения этих двух дуг, которая лежит внутри исходного угла, обозначим буквой $M$.

4. С помощью линейки соединим вершину угла $O$ с точкой $M$. Полученный луч $OM$ и есть биссектриса данного угла.

Чтобы доказать, что построенный луч $OM$ действительно является биссектрисой угла $\angle AOB$, соединим точки $A$ и $B$ с точкой $M$ и рассмотрим два образовавшихся треугольника: $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• Сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как обе они являются радиусами $R$ первой дуги, проведенной из центра $O$ ($OA = OB = R$).

• Сторона $AM$ равна стороне $BM$, так как они являются радиусами $r$ двух одинаковых дуг, проведенных из центров $A$ и $B$ ($AM = BM = r$).

• Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие углы. Нас интересуют углы при вершине $O$. Таким образом, $\angle AOM = \angle BOM$. Это по определению означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$. Построение верное.

Ответ: Биссектриса угла строится путем последовательного выполнения геометрических построений с помощью циркуля и линейки: сначала из вершины угла проводится дуга, пересекающая его стороны, а затем из полученных точек пересечения проводятся две другие пересекающиеся дуги равного радиуса. Луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения последних двух дуг, является искомой биссектрисой.

20 Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой.

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку на ней, используются циркуль и линейка без делений. Пусть нам дана прямая a и точка M, которая лежит на этой прямой.

Алгоритм построения следующий:

1. Установим острие циркуля в данную точку M. Выберем произвольный, не равный нулю, радиус r и проведём окружность (или две дуги), которая пересечёт прямую a в двух точках. Обозначим эти точки как A и B.
2. В результате этого шага мы получили на прямой a отрезок AB, для которого точка M является серединой, так как отрезки MA и MB равны как радиусы одной окружности: $MA = MB = r$.
3. Далее, установим острие циркуля в точку A. Раствор циркуля установим на радиус R, который должен быть строго больше, чем расстояние AM (то есть $R > r$). Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом R.
4. Не меняя раствора циркуля (сохраняя радиус R), установим его острие в точку B и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как N. (Можно построить две точки пересечения по обе стороны от прямой a, но для построения прямой достаточно одной).
5. С помощью линейки проведём прямую через точку M и полученную точку N.

Прямая MN и будет искомой прямой, перпендикулярной прямой a и проходящей через точку M.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ANB$. По построению стороны $AN$ и $BN$ равны, так как они являются радиусами дуг, проведенных из точек A и B с одинаковым радиусом R ($AN = BN = R$). Следовательно, треугольник $ANB$ — равнобедренный с основанием AB. Точка M является серединой основания AB ($AM = MB$). Отрезок MN соединяет вершину N с серединой основания M, значит, MN — медиана треугольника $ANB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Таким образом, $MN \perp AB$, а значит, прямая MN перпендикулярна прямой a. Так как прямая MN проходит через точку M, построение выполнено верно.

Ответ:

Чтобы построить прямую, проходящую через данную точку M на прямой a и перпендикулярную ей, необходимо:

1. С центром в точке M провести окружность произвольного радиуса r, которая пересечет прямую a в точках A и B.
2. Из точек A и B как из центров провести две дуги одинакового радиуса $R$, где $R > r$, так, чтобы они пересеклись в точке N.
3. Провести прямую через точки M и N. Эта прямая будет перпендикулярна прямой a.

21 Объясните, как построить середину данного отрезка.

Для построения середины данного отрезка с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

1. Пусть дан отрезок $AB$.
2. Устанавливаем на циркуле раствор (радиус) $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$. Для уверенности можно взять радиус, равный длине самого отрезка $AB$.
3. Проводим из точки $A$ как из центра дугу окружности радиусом $R$.
4. Не меняя раствора циркуля, проводим из точки $B$ как из центра другую дугу тем же радиусом $R$.
5. Эти две дуги пересекутся в двух точках, назовем их $C$ и $D$, расположенных по разные стороны от прямой, содержащей отрезок $AB$.
6. С помощью линейки проводим прямую через точки $C$ и $D$.
7. Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является его искомой серединой. Обозначим эту точку $M$.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. По построению, $AC = AD = BC = BD = R$. Следовательно, $ACBD$ — ромб.

Диагонали ромба ($AB$ и $CD$) пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей.

Следовательно, $AM = MB$, и точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$:

• $AC = BC = R$ (по построению, как радиусы окружностей с одинаковым радиусом).
• $AD = BD = R$ (по той же причине).
• Сторона $CD$ — общая.

Таким образом, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из этого следует равенство углов: $\angle ACD = \angle BCD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$, где $M$ — точка пересечения $AB$ и $CD$:

• $AC = BC$ (по построению).
• $CM$ — общая сторона.
• $\angle ACM = \angle BCM$ (из равенства $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$).

Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства этих треугольников следует, что $AM = BM$. Это доказывает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Чтобы построить середину отрезка, нужно из его концов провести две дуги окружности одинакового радиуса (большего половины отрезка) так, чтобы они пересеклись в двух точках. Прямая, проведенная через эти две точки пересечения, пересечет исходный отрезок в его середине.

161 Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны AB на 2 см, а сторона AB меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина стороны $AB$ треугольника $ABC$ равна $x$ см.

Согласно условию, сторона $BC$ больше стороны $AB$ на 2 см. Следовательно, мы можем выразить длину стороны $BC$ как $(x + 2)$ см.

Также по условию, сторона $AB$ меньше стороны $AC$ на 1 см. Это означает, что сторона $AC$ больше стороны $AB$ на 1 см, поэтому ее длина составляет $(x + 1)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула периметра: $P = AB + BC + AC$. Нам известно, что периметр равен 15 см. Подставим выражения для длин сторон в формулу и составим уравнение:

$x + (x + 2) + (x + 1) = 15$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x + 3 = 15$

Перенесем число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3x = 15 - 3$
$3x = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Таким образом, мы нашли, что длина стороны $AB$ равна 4 см.

Теперь мы можем найти длины двух других сторон, подставив найденное значение $x$:

Длина стороны $BC = x + 2 = 4 + 2 = 6$ см.

Длина стороны $AC = x + 1 = 4 + 1 = 5$ см.

Проверим полученные результаты: $4 \text{ см} + 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$. Периметр сходится с условием задачи.

Ответ: длины сторон треугольника равны: $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см.

162 В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$ см, а основание равно $b$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный, у него две равные боковые стороны. Сумма боковых сторон равна $a + a = 2a$.

Согласно первому условию задачи, основание больше боковой стороны на 2 см. Математически это выражается так:
$b = a + 2$

Согласно второму условию, основание меньше суммы боковых сторон на 3 см. Математически это выражается так:
$b = 2a - 3$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Так как левые части уравнений равны ($b$), мы можем приравнять их правые части:
$a + 2 = 2a - 3$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:
$2 + 3 = 2a - a$
$a = 5$
Таким образом, длина боковой стороны равна 5 см.

Чтобы найти длину основания $b$, подставим найденное значение $a$ в любое из исходных уравнений. Используем первое:
$b = a + 2 = 5 + 2 = 7$
Таким образом, длина основания равна 7 см.

Стороны треугольника: две боковые стороны по 5 см и основание 7 см.
Проверим выполнение условий:
1. Основание (7 см) больше боковой стороны (5 см) на $7 - 5 = 2$ см. Верно.
2. Сумма боковых сторон ($5 + 5 = 10$ см) больше основания (7 см) на $10 - 7 = 3$ см, что то же самое, что основание меньше суммы боковых сторон на 3 см. Верно.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 7 см.

163 Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 8 см. Обозначим искомую длину боковой стороны через $x$. Тогда стороны треугольника равны $x$, $x$ и 8 см.

По условию, к боковой стороне проведена медиана. Эта медиана делит боковую сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка длиной $\frac{x}{2}$. В результате исходный треугольник разделяется на два меньших треугольника.

Определим стороны этих двух треугольников. Пусть медиана имеет длину $m$.
Стороны первого треугольника: $x$ (боковая сторона), $\frac{x}{2}$ (половина другой боковой стороны) и $m$ (медиана).
Стороны второго треугольника: 8 (основание), $\frac{x}{2}$ (половина боковой стороны) и $m$ (медиана).

Периметр первого треугольника ($P_1$) равен $P_1 = x + \frac{x}{2} + m$.
Периметр второго треугольника ($P_2$) равен $P_2 = 8 + \frac{x}{2} + m$.

Из условия известно, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Это означает, что абсолютная разность их периметров равна 2:
$|P_1 - P_2| = 2$.

Подставим выражения для периметров в уравнение и упростим его:
$| (x + \frac{x}{2} + m) - (8 + \frac{x}{2} + m) | = 2$
$|x - 8| = 2$.

Данное уравнение с модулем имеет два решения:
1) $x - 8 = 2$, откуда $x = 10$.
2) $x - 8 = -2$, откуда $x = 6$.

Проверим оба найденных значения, используя неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны).
Для $x = 10$ см: стороны треугольника 10 см, 10 см, 8 см. Неравенство $10 + 8 > 10$ выполняется. Этот вариант является решением.
Для $x = 6$ см: стороны треугольника 6 см, 6 см, 8 см. Неравенство $6 + 6 > 8$ (то есть $12 > 8$) выполняется. Этот вариант также является решением.

Ответ: 10 см или 6 см.

164 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть в $\triangle ABC$ основанием является сторона $AC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $BC$. В $\triangle A_1B_1C_1$ основанием является $A_1C_1$, а боковыми сторонами — $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Угол, противолежащий основанию в $\triangle ABC$, — это $\angle B$. В $\triangle A_1B_1C_1$ — это $\angle B_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренные.
2. $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.
3. $AB = A_1B_1$ (боковые стороны равны по условию).
4. $\angle B = \angle B_1$ (углы, противолежащие основаниям, равны по условию).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
По первому признаку равенства треугольников, два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
Рассмотрим стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle B$ в $\triangle ABC$, а также стороны $A_1B_1$, $B_1C_1$ и угол $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ по условию задачи ($AB = A_1B_1$).
2. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный, то его боковые стороны равны: $AB = BC$.
3. Так как $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренный, то его боковые стороны равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.
4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $BC = AB = A_1B_1 = B_1C_1$. Следовательно, сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$).
5. Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ по условию задачи ($\angle B = \angle B_1$). Этот угол является углом между сторонами $AB$ и $BC$ в первом треугольнике и между сторонами $A_1B_1$ и $B_1C_1$ во втором.

Таким образом, мы установили, что две стороны ($AB$ и $BC$) и угол между ними ($\angle B$) треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам ($A_1B_1$ и $B_1C_1$) и углу между ними ($\angle B_1$) треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника, у которых боковая сторона и угол при вершине (противолежащий основанию) одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого, равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

165 Прямая а проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек A и B; б) каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой а.

а)

Пусть прямая $a$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ему ($a \perp AB$). Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $X$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMX$ и $\triangle BMX$.

В этих треугольниках:

1. $AM = MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$ по условию.
2. Сторона $XM$ — общая.
3. $\angle AMX = \angle BMX = 90^\circ$, так как $a \perp AB$ по условию.

Следовательно, $\triangle AMX = \triangle BMX$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В частности, гипотенузы $AX$ и $BX$ равны, то есть $AX = BX$.

Так как $X$ — любая точка прямой $a$, мы доказали, что каждая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Ответ: Доказано, что каждая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

б)

Пусть некоторая точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $CA = CB$. Докажем, что точка $C$ лежит на прямой $a$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $CA = CB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем медиану $CM$ к основанию $AB$. По определению медианы, $M$ является серединой отрезка $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $C$ и $M$, перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. По условию задачи, прямая $a$ и есть серединный перпендикуляр к $AB$.

Так как через точку $M$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $AB$, то прямая $CM$ совпадает с прямой $a$. А поскольку точка $C$ лежит на прямой $CM$, она также лежит и на прямой $a$.

Ответ: Доказано, что каждая точка, равноудалённая от точек $A$ и $B$, лежит на прямой $a$.

166 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ медианы AM и А₁М₁ равны, ВС = В₁С₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. По условию, $AM$ и $A_1M_1$ — медианы. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $B_1C_1$. Это означает, что $BM = \frac{1}{2}BC$ и $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$.

2. В условии также дано, что $BC = B_1C_1$. Так как отрезки $BC$ и $B_1C_1$ равны, то равны и их половины. Следовательно, $BM = B_1M_1$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $AMB$ и $A_1M_1B_1$. Сравним их элементы:

• $AM = A_1M_1$ (по условию);
• $BM = B_1M_1$ (как доказано в пункте 2);
• $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ (по условию).

Таким образом, $\triangle AMB = \triangle A_1M_1B_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $AMB$ и $A_1M_1B_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их стороны $AB$ и $A_1B_1$ и углы $\angle B$ и $\angle B_1$.

5. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:

• $AB = A_1B_1$ (как доказано в пункте 4);
• $\angle B = \angle B_1$ (как доказано в пункте 4);
• $BC = B_1C_1$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.

167 На рисунке 98 треугольник ADE равнобед-ренный, DE — основание. Докажите, что:

а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=АС;

б) если ∠CAD=∠BAE, то BD=СЕ и AB=АС.

а)

По условию, треугольник $ADE$ — равнобедренный с основанием $DE$. Это означает, что его боковые стороны равны, $AD = AE$, и углы при основании равны, $\angle ADE = \angle AED$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.

В этих треугольниках:

1. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).

2. $BD = CE$ (по условию пункта а).

3. $\angle ADB = \angle AEC$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABD$ (стороны $AD$ и $BD$, и угол $\angle ADB$ между ними) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle ACE$ (стороны $AE$ и $CE$, и угол $\angle AEC$ между ними). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (СУС), $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. $AB = AC$.

2. $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь докажем, что $\angle CAD = \angle BAE$. Угол $\angle BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAD = \angle CAD + \angle CAB$. Аналогично, угол $\angle CAE = \angle BAE + \angle CAB$.

Так как мы доказали, что $\angle BAD = \angle CAE$, то можем записать равенство:

$\angle CAD + \angle CAB = \angle BAE + \angle CAB$

Вычитая из обеих частей равенства общий угол $\angle CAB$, получаем:

$\angle CAD = \angle BAE$

Таким образом, доказано, что если $BD=CE$, то $\angle CAD = \angle BAE$ и $AB = AC$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

По условию, треугольник $ADE$ — равнобедренный с основанием $DE$, следовательно, $AD = AE$ и $\angle ADE = \angle AED$. Также по условию пункта б) дано, что $\angle CAD = \angle BAE$.

Прибавим к обеим частям равенства $\angle CAD = \angle BAE$ один и тот же угол $\angle CAB$. Получим:

$\angle CAD + \angle CAB = \angle BAE + \angle CAB$

Левая часть этого равенства представляет собой угол $\angle BAD$, а правая — угол $\angle CAE$. Таким образом, $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.

В этих треугольниках:

1. $\angle BAD = \angle CAE$ (как мы только что доказали).

2. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).

3. $\angle ADB = \angle AEC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла в треугольнике $\triangle ABD$ (сторона $AD$ и углы $\angle BAD$ и $\angle ADB$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам в треугольнике $\triangle ACE$ (сторона $AE$ и углы $\angle CAE$ и $\angle AEC$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (УСУ), $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

1. $BD = CE$.

2. $AB = AC$.

Таким образом, доказано, что если $\angle CAD = \angle BAE$, то $BD = CE$ и $AB = AC$.

Ответ: Утверждение доказано.

168 Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Обозначим точки $D$, $E$ и $F$ как середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Эти точки являются вершинами нового треугольника $DEF$. Для того чтобы доказать, что треугольник $DEF$ является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны равны. Докажем, что стороны $DF$ и $EF$ равны.

Рассмотрим отрезок $DF$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны. Таким образом, $DF$ является средней линией треугольника $ABC$, и ее длина равна половине длины стороны $BC$:
$DF = \frac{1}{2} BC$

Теперь рассмотрим отрезок $EF$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $EF$ также является средней линией треугольника $ABC$, и ее длина равна половине длины стороны $AB$:
$EF = \frac{1}{2} AB$

По условию задачи, исходный треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны:
$AB = BC$

Так как отрезки $AB$ и $BC$ равны, то равны и их половины:
$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC$

Из этого напрямую следует, что $DF = EF$.

Поскольку в треугольнике $DEF$ две стороны ($DF$ и $EF$) равны, он по определению является равнобедренным треугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.