Страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

148 Какие из отрезков, изображённых на рисунке 96, являются: а) хордами окружности; б) диаметром окружности; в) радиусами окружности? (Точка О — центр окружности.)

а) Хорда — это отрезок, который соединяет две любые точки на окружности. На рисунке 96 мы видим несколько таких отрезков:

• Отрезок $MN$ соединяет точки $M$ и $N$ на окружности.
• Отрезок $PC$ соединяет точки $P$ и $C$ на окружности.
• Отрезок $AB$ соединяет точки $A$ и $B$ на окружности.
• Отрезок $CD$ соединяет точки $C$ и $D$ на окружности.
• Отрезок $BD$ соединяет точки $B$ и $D$ на окружности.

Отрезок $TS$ не является хордой, так как точка $S$ не лежит на окружности.
Ответ: $MN$, $PC$, $AB$, $CD$, $BD$.

б) Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Центр окружности — точка $O$. Из всех хорд, перечисленных в пункте а), только отрезок $MN$ проходит через центр $O$.
Ответ: $MN$.

в) Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой на окружности. На рисунке 96 отрезками, соединяющими центр $O$ с точками на окружности, являются:

• Отрезок $OA$ (соединяет центр $O$ и точку $A$ на окружности).
• Отрезок $OB$ (соединяет центр $O$ и точку $B$ на окружности).
• Отрезок $OP$ (соединяет центр $O$ и точку $P$ на окружности).

Отрезки $OC_1$ и $OD_1$ не являются радиусами, так как точки $C_1$ и $D_1$ не лежат на окружности, а находятся внутри неё.
Ответ: $OA$, $OB$, $OP$.

149 Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Пусть O — центр окружности. Так как отрезки $AB$ и $CD$ являются диаметрами, они проходят через центр O. Таким образом, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами окружности, и все они равны между собой: $OA = OB = OC = OD$.

а) хорды BD и AC равны
Рассмотрим треугольники $\triangle BOD$ и $\triangle AOC$.
В этих треугольниках стороны $OB$ и $OA$ равны как радиусы, и стороны $OD$ и $OC$ также равны как радиусы. Углы $\angle BOD$ и $\angle AOC$ равны, так как они являются вертикальными.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BOD \cong \triangle AOC$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BD = AC$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) хорды AD и BC равны
Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.
В этих треугольниках стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, и стороны $OD$ и $OC$ также равны как радиусы. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны, так как они являются вертикальными.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \cong \triangle BOC$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AD = BC$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) ?BAD = ?BCD
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.
1. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
2. Стороны $AB$ и $CD$ равны, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($AB = CD = 2r$).
3. Стороны $AD$ и $BC$ равны, как было доказано в пункте б).
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD \cong \triangle CDB$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAD$ лежит напротив общей стороны $BD$ в треугольнике $\triangle ABD$, а угол $\angle BCD$ лежит напротив той же стороны $DB$ в треугольнике $\triangle CDB$. Таким образом, $\angle BAD = \angle BCD$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

150 Отрезок МK — диаметр окружности с центром О, а МР и РK — равные хорды этой окружности. Найдите угол POM.

Решение: Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. По условию задачи, отрезок $MK$ является диаметром этой окружности, а хорды $MP$ и $PK$ равны между собой. Поскольку $MK$ — это диаметр, точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle MOK$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$. В окружности равные хорды стягивают равные центральные углы. Хорде $MP$ соответствует центральный угол $\angle POM$, а равной ей хорде $PK$ соответствует центральный угол $\angle POK$. Так как по условию $MP = PK$, то и соответствующие им центральные углы равны: $\angle POM = \angle POK$. Развернутый угол $\angle MOK$ складывается из двух смежных углов $\angle POM$ и $\angle POK$: $\angle MOK = \angle POM + \angle POK$. Подставим в это равенство известные нам факты: $180^\circ = \angle POM + \angle POM$ $180^\circ = 2 \cdot \angle POM$ Отсюда можем найти величину искомого угла $\angle POM$: $\angle POM = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

151 Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, AB = 16 см.

Для нахождения периметра треугольника $AOD$ необходимо сложить длины всех его сторон: $P_{AOD} = AO + OD + AD$.

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ являются диаметрами окружности с центром в точке $O$, то отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ являются радиусами ($R$) этой окружности. Следовательно, все они равны между собой.

Длина радиуса равна половине длины диаметра. Нам дана длина диаметра $AB = 16$ см.
Найдем радиус:$R = AO = OD = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Таким образом, мы знаем длины двух сторон искомого треугольника $AOD$: $AO = 8$ см и $OD = 8$ см.

Чтобы найти длину третьей стороны $AD$, рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$.
1. $AO = CO$ (как радиусы одной и той же окружности).
2. $DO = BO$ (также как радиусы).
3. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении диаметров $AB$ и $CD$.
Следовательно, треугольник $AOD$ равен треугольнику $COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ($\triangle AOD = \triangle COB$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ соответствует стороне $CB$. Значит, $AD = CB$.

По условию задачи дано, что $CB = 13$ см. Следовательно, $AD = 13$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $AOD$:
$P_{AOD} = AO + OD + AD = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 13 \text{ см} = 29 \text{ см}$.

Ответ: 29 см.

152 На окружности с центром О отмечены точки A и B так, что угол AOB — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и АС равны.

Для доказательства равенства хорд $AB$ и $AC$ мы докажем, что треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.

1. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

2. Стороны $OB$ и $OC$ равны между собой, так как являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC$).

3. Теперь нам нужно сравнить углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$, которые являются углами между этими парами сторон в соответствующих треугольниках.

По условию, отрезок $BC$ является диаметром окружности. Это означает, что точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой, а угол $\angle BOC$ является развернутым, то есть его величина составляет $180^\circ$.

Угол $\angle BOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOB$ и $\angle AOC$. Следовательно, мы можем записать: $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC$.

Из условия задачи известно, что $\angle AOB$ — прямой, а значит $\angle AOB = 90^\circ$. Подставим это значение в наше равенство: $180^\circ = 90^\circ + \angle AOC$.

Из этого уравнения находим величину угла $\angle AOC$: $\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$.

Теперь мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) к треугольникам $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$:

• $AO$ — общая сторона;
• $OB = OC$ (как радиусы);
• $\angle AOB = \angle AOC$ (как было доказано выше).

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle AOC$ ($\triangle AOB \cong \triangle AOC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Хорда $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ соответствует хорде $AC$ в треугольнике $\triangle AOC$. Таким образом, $AB = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство хорд $AB$ и $AC$ доказано.

153 На прямой даны две точки A и B. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2AB.

Для решения данной задачи необходимо сначала разобраться в терминологии.

Луч $BA$ — это часть прямой, которая начинается в точке $B$ и проходит через точку $A$.

«Продолжение луча $BA$» — это луч, который также начинается в точке $B$, но направлен в сторону, противоположную точке $A$. Это означает, что точка $C$, которую нам нужно найти, будет лежать на той же прямой, что и точки $A$ и $B$, но так, что точка $B$ окажется между точками $A$ и $C$.

Далее, нам дано условие, связывающее длины отрезков: $BC = 2 \cdot AB$. Это означает, что расстояние от точки $B$ до точки $C$ должно быть в два раза больше расстояния между точками $A$ и $B$.

Таким образом, алгоритм построения точки $C$ следующий:
1. На прямой, где лежат точки $A$ и $B$, определяем направление от $B$ в сторону, противоположную $A$.
2. В этом направлении от точки $B$ откладываем отрезок $BC$, длина которого равна удвоенной длине отрезка $AB$.
3. Конец отложенного отрезка и будет искомой точкой $C$.

В результате такого построения, все три точки $A$, $B$ и $C$ будут лежать на одной прямой. Точка $B$ будет находиться между $A$ и $C$. Полное расстояние от $A$ до $C$ будет равно сумме длин отрезков $AB$ и $BC$: $AC = AB + BC = AB + 2 \cdot AB = 3 \cdot AB$.

Ответ: Точка $C$ располагается на прямой $AB$ таким образом, что точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, а длина отрезка $BC$ в два раза больше длины отрезка $AB$.

154 Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ.

Для решения задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям: во-первых, принадлежать прямой $a$, и во-вторых, находиться от точки $B$ на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$.

Геометрическое место точек, удаленных от данной точки ($B$) на заданное расстояние ($PQ$), — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R = PQ$.

Следовательно, искомая точка $M$ (или точки) — это точка пересечения прямой $a$ и окружности с центром в $B$ и радиусом, равным $PQ$.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля измерить длину отрезка $PQ$, установив ножку циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.

2. Не изменяя раствор циркуля, установить его ножку в точку $B$.

3. Провести окружность (или дуги, достаточные для пересечения с прямой $a$).

4. Точки пересечения построенной окружности и прямой $a$ являются искомыми точками $M$.

Ответ: Необходимо построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ и будут искомыми точками $M$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Наличие и количество решений зависит от соотношения между длиной отрезка $PQ$ и расстоянием от точки $B$ до прямой $a$.

Пусть $h$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $a$ (то есть длина перпендикуляра, опущенного из $B$ на $a$), а $R$ — это длина отрезка $PQ$ ($R=PQ$).

Возможны три случая:

1. Если $R > h$ (длина отрезка $PQ$ больше расстояния от точки $B$ до прямой $a$), то окружность пересечет прямую в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

2. Если $R = h$ (длина отрезка $PQ$ равна расстоянию от точки $B$ до прямой $a$), то окружность коснется прямой в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

3. Если $R < h$ (длина отрезка $PQ$ меньше расстояния от точки $B$ до прямой $a$), то окружность и прямая не будут иметь общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Нет, задача имеет решение только в том случае, если длина отрезка $PQ$ не меньше, чем расстояние от точки $B$ до прямой $a$ (то есть $PQ \ge h$).

155 Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Построение точки M

Искомая точка M должна удовлетворять двум условиям: во-первых, лежать на данной окружности, и во-вторых, находиться на расстоянии, равном длине отрезка PQ, от точки A, то есть должно выполняться равенство $AM = PQ$.

Геометрическим местом точек, удаленных от точки A на постоянное расстояние, равное длине отрезка PQ, является окружность с центром в точке A и радиусом $d = PQ$.

Следовательно, искомая точка M должна принадлежать одновременно двум окружностям: данной в условии и построенной нами. Таким образом, точки M являются точками пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка PQ, установив иглу циркуля в точку P, а грифель в точку Q.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность с центром в точке A.
3. Точки, в которых построенная окружность пересекает данную, являются искомыми точками M.

Ответ: Искомые точки M являются точками пересечения данной окружности и окружности с центром в A и радиусом, равным длине отрезка PQ.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Существование решения зависит от взаимного расположения данной окружности и точки A, а также от длины отрезка PQ.

Как было установлено выше, решение задачи — это точки пересечения двух окружностей. Пусть данная окружность имеет центр O и радиус R, а построенная нами вспомогательная окружность имеет центр A и радиус $d=PQ$. Расстояние между центрами этих окружностей равно $OA$.

Две окружности имеют общие точки (пересекаются или касаются) тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами больше или равно модулю разности их радиусов и меньше или равно сумме их радиусов. Для нашей задачи это условие записывается так:
$|R - d| \le OA \le R + d$
Подставив $d=PQ$, получим:
$|R - PQ| \le OA \le R + PQ$

Геометрически это означает, что длина отрезка PQ должна быть не меньше, чем кратчайшее расстояние от точки A до данной окружности (которое равно $|OA - R|$), и не больше, чем наибольшее расстояние от точки A до данной окружности (которое равно $OA + R$).

Таким образом, количество решений зависит от выполнения этого условия:
• Нет решений, если $OA > R + PQ$ (окружности находятся слишком далеко друг от друга) или $OA < |R - PQ|$ (одна окружность полностью находится внутри другой, не касаясь ее).
• Одно решение, если $OA = R + PQ$ (внешнее касание) или $OA = |R - PQ|$ (внутреннее касание, при $OA \ne 0$).
• Два решения, если $|R - PQ| < OA < R + PQ|$ (окружности пересекаются в двух точках).

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие $|OA - R| \le PQ \le OA + R|$, где O — центр, а R — радиус данной окружности.

156 Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

Для решения данной задачи необходимо выполнить классическое построение на копирование угла, применив его дважды.

Дано:

Острый угол $\angle BAC$ и луч $XY$.

Построить:

Угол $\angle YXZ$ такой, что $\angle YXZ = 2\angle BAC$.

Построение:

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Алгоритм состоит из двух основных этапов: сначала мы строим угол, равный данному, а затем от одной из его сторон откладываем еще один такой же угол.

1. Построение угла $\angle KXY = \angle BAC$.
   • С центром в вершине $A$ данного угла $\angle BAC$ проведем окружность произвольного радиуса $r$. Она пересечет стороны угла $AB$ и $AC$ в точках, которые мы назовем $M$ и $N$ соответственно.
   • С центром в начальной точке луча, $X$, проведем окружность того же радиуса $r$. Она пересечет луч $XY$ в точке $P$.
   • Циркулем измерим расстояние между точками $M$ и $N$.
   • Проведем новую окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным расстоянию $MN$.
   • Эта окружность пересечет окружность с центром в $X$ в двух точках. Выберем одну из них и назовем ее $K$.
   • Соединим точки $X$ и $K$ лучом $XK$. Угол $\angle KXY$ равен углу $\angle BAC$.
2. Построение угла $\angle KXZ = \angle BAC$.
   • Теперь, используя луч $XK$ как одну из сторон, повторим процедуру для построения второго угла. Окружность с центром в $X$ и радиусом $r$ у нас уже есть, и она проходит через точку $K$.
   • Не изменяя раствор циркуля, равный расстоянию $MN$, проведем окружность с центром в точке $K$.
   • Эта окружность пересечет окружность с центром в $X$ в новой точке (отличной от $P$), которую мы назовем $Z$.
   • Проведем луч $XZ$. Угол $\angle KXZ$ также будет равен углу $\angle BAC$.

Доказательство:

По построению, треугольник $\triangle XKP$ равен треугольнику $\triangle AMN$ по трем сторонам (так как $XK=AM=r$, $XP=AN=r$ и $KP=MN$). Следовательно, $\angle KXY = \angle BAC$.

Аналогично, треугольник $\triangle XKZ$ равен треугольнику $\triangle AMN$ по трем сторонам (так как $XK=AM=r$, $XZ=AN=r$ и $KZ=MN$). Следовательно, $\angle KXZ = \angle BAC$.

Поскольку луч $XK$ лежит между лучами $XY$ и $XZ$, по свойству сложения углов имеем:

$\angle YXZ = \angle KXY + \angle KXZ$

Подставляя доказанные равенства, получаем:

$\angle YXZ = \angle BAC + \angle BAC = 2\angle BAC$

Таким образом, построенный угол $\angle YXZ$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Угол $\angle YXZ$ построен в соответствии с приведенным алгоритмом. Его величина равна удвоенной величине угла $\angle BAC$.

157 Дан тупой угол AOB. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Пусть дан тупой угол $\angle AOB$, то есть $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$. Требуется построить луч $OX$ так, чтобы углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ были равными и при этом тупыми.

Анализ

Рассмотрим два возможных расположения луча $OX$ относительно угла $\angle AOB$.

1. Луч $OX$ проходит внутри угла $\angle AOB$.
В этом случае, для того чтобы углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ были равны, луч $OX$ должен быть биссектрисой угла $\angle AOB$. Тогда $\angle XOA = \angle XOB = \frac{1}{2}\angle AOB$. Поскольку по условию угол $\angle AOB$ тупой ($90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$), то его половина будет острым углом ($45^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$). Следовательно, углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ будут острыми, что противоречит условию задачи.

2. Луч $OX$ проходит вне угла $\angle AOB$.
Равенство углов $\angle XOA = \angle XOB$ означает, что луч $OX$ является биссектрисой угла, образованного лучами $OA$ и $OB$ и дополняющего $\angle AOB$ до $360^\circ$. Проще всего найти положение этого луча через биссектрису самого угла $\angle AOB$.

Пусть $OK$ – это биссектриса угла $\angle AOB$. Построим луч $OX$ как дополнение луча $OK$ до прямой (то есть $OX$ и $OK$ — противоположно направленные лучи). В этом случае угол, образованный лучами $OK$ и $OX$, является развернутым: $\angle KOX = 180^\circ$. Тогда угол $\angle XOA$ можно выразить через смежные углы: $\angle XOA = 180^\circ - \angle KOA$. Так как $OK$ — биссектриса, $\angle KOA = \frac{1}{2}\angle AOB$. Значит, $\angle XOA = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Аналогично, $\angle XOB = 180^\circ - \angle KOB = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Таким образом, условие $\angle XOA = \angle XOB$ выполняется.

Проверим, являются ли полученные углы тупыми. Из условия $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$ следует, что $45^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$. Вычтем это неравенство из $180^\circ$: $180^\circ - 90^\circ < 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB < 180^\circ - 45^\circ$. В результате получаем: $90^\circ < \angle XOA < 135^\circ$. Так как величина угла $\angle XOA$ (и равного ему $\angle XOB$) больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, эти углы являются тупыми. Данное расположение луча $OX$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Построение

Алгоритм построения искомого луча $OX$:

1. Построить биссектрису $OK$ данного тупого угла $\angle AOB$.
2. Построить луч $OX$, дополнительный к лучу $OK$. Для этого нужно провести прямую через точки $O$ и $K$ и выбрать на ней луч с началом в точке $O$, не содержащий точку $K$.

Ответ: Для построения искомого луча $OX$ необходимо сначала построить биссектрису $OK$ данного тупого угла $\angle AOB$. Искомый луч $OX$ является лучом, дополнительным к биссектрисе $OK$ (то есть лучи $OK$ и $OX$ лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от точки $O$).

158 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами A и B (рис. 97). Затем построим две окружности с центрами A и B, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1=∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN⊥AB, т. е. MN⊥а.

Чтобы построить прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную к прямой $a$, необходимо выполнить следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки.

Построение:

1. Из точки $M$ как из центра проводим окружность произвольного, но достаточного радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$.
2. Далее строим две окружности одинакового радиуса, равного длине отрезка $AM$ (или $BM$, так как $AM=BM$). Одну окружность строим с центром в точке $A$, а другую — с центром в точке $B$.
3. Эти две окружности пересекутся в двух точках: в исходной точке $M$ и в новой точке, которую обозначим $N$.
4. Проводим прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая $MN$ и будет искомой.

Доказательство:

Докажем, что построенная прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$. У них:

• сторона $AM$ равна стороне $BM$ (как радиусы первой окружности с центром в $M$);
• сторона $AN$ равна стороне $BN$ (по построению, так как они являются радиусами двух окружностей с одинаковыми радиусами $AM=BM$);
• сторона $MN$ — общая.

Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AMN = \angle BMN$.

Пусть $C$ — это точка пересечения прямых $MN$ и $a$. В треугольнике $\triangle AMB$, который является равнобедренным ($AM=BM$), отрезок $MC$ является биссектрисой угла $\angle AMB$ (так как $\angle AMC = \angle BMC$).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно и медианой, и высотой. Таким образом, $MC$ является высотой треугольника $\triangle AMB$, опущенной на основание $AB$.

Это означает, что $MC \perp AB$, и, следовательно, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$. Построение верно.

Ответ: Прямая, построенная согласно описанному алгоритму, проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$.