Номер 154, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 154, страница 48.

154 Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ.

Для решения задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям: во-первых, принадлежать прямой $a$, и во-вторых, находиться от точки $B$ на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$.

Геометрическое место точек, удаленных от данной точки ($B$) на заданное расстояние ($PQ$), — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R = PQ$.

Следовательно, искомая точка $M$ (или точки) — это точка пересечения прямой $a$ и окружности с центром в $B$ и радиусом, равным $PQ$.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля измерить длину отрезка $PQ$, установив ножку циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.

2. Не изменяя раствор циркуля, установить его ножку в точку $B$.

3. Провести окружность (или дуги, достаточные для пересечения с прямой $a$).

4. Точки пересечения построенной окружности и прямой $a$ являются искомыми точками $M$.

Ответ: Необходимо построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ и будут искомыми точками $M$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Наличие и количество решений зависит от соотношения между длиной отрезка $PQ$ и расстоянием от точки $B$ до прямой $a$.

Пусть $h$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $a$ (то есть длина перпендикуляра, опущенного из $B$ на $a$), а $R$ — это длина отрезка $PQ$ ($R=PQ$).

Возможны три случая:

1. Если $R > h$ (длина отрезка $PQ$ больше расстояния от точки $B$ до прямой $a$), то окружность пересечет прямую в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

2. Если $R = h$ (длина отрезка $PQ$ равна расстоянию от точки $B$ до прямой $a$), то окружность коснется прямой в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

3. Если $R < h$ (длина отрезка $PQ$ меньше расстояния от точки $B$ до прямой $a$), то окружность и прямая не будут иметь общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Нет, задача имеет решение только в том случае, если длина отрезка $PQ$ не меньше, чем расстояние от точки $B$ до прямой $a$ (то есть $PQ \ge h$).