Номер 156, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 156, страница 48.

156 Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

Для решения данной задачи необходимо выполнить классическое построение на копирование угла, применив его дважды.

Дано:

Острый угол $\angle BAC$ и луч $XY$.

Построить:

Угол $\angle YXZ$ такой, что $\angle YXZ = 2\angle BAC$.

Построение:

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Алгоритм состоит из двух основных этапов: сначала мы строим угол, равный данному, а затем от одной из его сторон откладываем еще один такой же угол.

1. Построение угла $\angle KXY = \angle BAC$.
   • С центром в вершине $A$ данного угла $\angle BAC$ проведем окружность произвольного радиуса $r$. Она пересечет стороны угла $AB$ и $AC$ в точках, которые мы назовем $M$ и $N$ соответственно.
   • С центром в начальной точке луча, $X$, проведем окружность того же радиуса $r$. Она пересечет луч $XY$ в точке $P$.
   • Циркулем измерим расстояние между точками $M$ и $N$.
   • Проведем новую окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным расстоянию $MN$.
   • Эта окружность пересечет окружность с центром в $X$ в двух точках. Выберем одну из них и назовем ее $K$.
   • Соединим точки $X$ и $K$ лучом $XK$. Угол $\angle KXY$ равен углу $\angle BAC$.
2. Построение угла $\angle KXZ = \angle BAC$.
   • Теперь, используя луч $XK$ как одну из сторон, повторим процедуру для построения второго угла. Окружность с центром в $X$ и радиусом $r$ у нас уже есть, и она проходит через точку $K$.
   • Не изменяя раствор циркуля, равный расстоянию $MN$, проведем окружность с центром в точке $K$.
   • Эта окружность пересечет окружность с центром в $X$ в новой точке (отличной от $P$), которую мы назовем $Z$.
   • Проведем луч $XZ$. Угол $\angle KXZ$ также будет равен углу $\angle BAC$.

Доказательство:

По построению, треугольник $\triangle XKP$ равен треугольнику $\triangle AMN$ по трем сторонам (так как $XK=AM=r$, $XP=AN=r$ и $KP=MN$). Следовательно, $\angle KXY = \angle BAC$.

Аналогично, треугольник $\triangle XKZ$ равен треугольнику $\triangle AMN$ по трем сторонам (так как $XK=AM=r$, $XZ=AN=r$ и $KZ=MN$). Следовательно, $\angle KXZ = \angle BAC$.

Поскольку луч $XK$ лежит между лучами $XY$ и $XZ$, по свойству сложения углов имеем:

$\angle YXZ = \angle KXY + \angle KXZ$

Подставляя доказанные равенства, получаем:

$\angle YXZ = \angle BAC + \angle BAC = 2\angle BAC$

Таким образом, построенный угол $\angle YXZ$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Угол $\angle YXZ$ построен в соответствии с приведенным алгоритмом. Его величина равна удвоенной величине угла $\angle BAC$.