Номер 155, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 155, страница 48.

155 Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Построение точки M

Искомая точка M должна удовлетворять двум условиям: во-первых, лежать на данной окружности, и во-вторых, находиться на расстоянии, равном длине отрезка PQ, от точки A, то есть должно выполняться равенство $AM = PQ$.

Геометрическим местом точек, удаленных от точки A на постоянное расстояние, равное длине отрезка PQ, является окружность с центром в точке A и радиусом $d = PQ$.

Следовательно, искомая точка M должна принадлежать одновременно двум окружностям: данной в условии и построенной нами. Таким образом, точки M являются точками пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка PQ, установив иглу циркуля в точку P, а грифель в точку Q.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность с центром в точке A.
3. Точки, в которых построенная окружность пересекает данную, являются искомыми точками M.

Ответ: Искомые точки M являются точками пересечения данной окружности и окружности с центром в A и радиусом, равным длине отрезка PQ.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Существование решения зависит от взаимного расположения данной окружности и точки A, а также от длины отрезка PQ.

Как было установлено выше, решение задачи — это точки пересечения двух окружностей. Пусть данная окружность имеет центр O и радиус R, а построенная нами вспомогательная окружность имеет центр A и радиус $d=PQ$. Расстояние между центрами этих окружностей равно $OA$.

Две окружности имеют общие точки (пересекаются или касаются) тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами больше или равно модулю разности их радиусов и меньше или равно сумме их радиусов. Для нашей задачи это условие записывается так:
$|R - d| \le OA \le R + d$
Подставив $d=PQ$, получим:
$|R - PQ| \le OA \le R + PQ$

Геометрически это означает, что длина отрезка PQ должна быть не меньше, чем кратчайшее расстояние от точки A до данной окружности (которое равно $|OA - R|$), и не больше, чем наибольшее расстояние от точки A до данной окружности (которое равно $OA + R$).

Таким образом, количество решений зависит от выполнения этого условия:
• Нет решений, если $OA > R + PQ$ (окружности находятся слишком далеко друг от друга) или $OA < |R - PQ|$ (одна окружность полностью находится внутри другой, не касаясь ее).
• Одно решение, если $OA = R + PQ$ (внешнее касание) или $OA = |R - PQ|$ (внутреннее касание, при $OA \ne 0$).
• Два решения, если $|R - PQ| < OA < R + PQ|$ (окружности пересекаются в двух точках).

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие $|OA - R| \le PQ \le OA + R|$, где O — центр, а R — радиус данной окружности.