Номер 149, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 149, страница 48.

149 Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Пусть O — центр окружности. Так как отрезки $AB$ и $CD$ являются диаметрами, они проходят через центр O. Таким образом, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами окружности, и все они равны между собой: $OA = OB = OC = OD$.

а) хорды BD и AC равны
Рассмотрим треугольники $\triangle BOD$ и $\triangle AOC$.
В этих треугольниках стороны $OB$ и $OA$ равны как радиусы, и стороны $OD$ и $OC$ также равны как радиусы. Углы $\angle BOD$ и $\angle AOC$ равны, так как они являются вертикальными.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BOD \cong \triangle AOC$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BD = AC$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) хорды AD и BC равны
Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.
В этих треугольниках стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, и стороны $OD$ и $OC$ также равны как радиусы. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны, так как они являются вертикальными.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \cong \triangle BOC$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AD = BC$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) ?BAD = ?BCD
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.
1. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
2. Стороны $AB$ и $CD$ равны, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($AB = CD = 2r$).
3. Стороны $AD$ и $BC$ равны, как было доказано в пункте б).
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD \cong \triangle CDB$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAD$ лежит напротив общей стороны $BD$ в треугольнике $\triangle ABD$, а угол $\angle BCD$ лежит напротив той же стороны $DB$ в треугольнике $\triangle CDB$. Таким образом, $\angle BAD = \angle BCD$.
Ответ: Что и требовалось доказать.