Номер 144, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 144, страница 42.
№144 (с. 42)
Условие. №144 (с. 42)
скриншот условия


144 На рисунке 82 AB=CD, AD=ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:
а) ∠ABE = ∠ADF;
б) △ABE = △CDF.

Решение 2. №144 (с. 42)


Решение 3. №144 (с. 42)

Решение 4. №144 (с. 42)

Решение 7. №144 (с. 42)

Решение 9. №144 (с. 42)


Решение 11. №144 (с. 42)
а)
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.
Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.
Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Таким образом, $\angle ABC = \angle ADC$.
Из условия известно, что $BE$ — биссектриса угла $ABC$. Это означает, что она делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2} \angle ABC$.
Также по условию $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Это означает, что она делит угол $ADC$ на два равных угла: $\angle ADF = \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC$.
Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то и половины этих углов равны между собой:
$\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC$
Отсюда следует, что $\angle ABE = \angle ADF$.
Ответ: Доказано.
б)
Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$. Чтобы доказать их равенство, сравним их соответствующие элементы, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
1. Сторона: По условию задачи $AB = CD$.
2. Прилежащий угол №1: Как было установлено в пункте а), $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Поэтому $\angle BAC = \angle DCA$. В рассматриваемых треугольниках эти углы — $\angle BAE$ и $\angle DCF$. Значит, $\angle BAE = \angle DCF$.
3. Прилежащий угол №2: В пункте а) было доказано, что $\angle ABC = \angle ADC$. Так как $BE$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABC$. Так как $DF$ — биссектриса угла $ADC$, то $\angle CDF = \frac{1}{2}\angle ADC$. Из равенства углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ следует равенство их половин: $\angle ABE = \angle CDF$.
Таким образом, мы имеем следующие равенства для треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$:
- $AB = CD$ (сторона)
- $\angle BAE = \angle DCF$ (прилежащий угол)
- $\angle ABE = \angle CDF$ (прилежащий угол)
Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то по второму признаку равенства треугольников (ASA) $\triangle ABE = \triangle CDF$.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 144 расположенного на странице 42 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №144 (с. 42), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.