Номер 138, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 138, страница 42.

138 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Дано:
В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно биссектрисой и высотой. Это значит, что:
1. $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD$.
2. $BD$ перпендикулярен стороне $AC$: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно $AB = CB$.

Доказательство:
Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник $ABC$.
Поскольку $BD$ является высотой, то оба этих треугольника — прямоугольные.
Сравним эти прямоугольные треугольники:
- У них есть общий катет $BD$.
- Прилежащие к этому катету острые углы равны: $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, гипотенузы этих треугольников равны. Гипотенузой в $\triangle ABD$ является сторона $AB$, а в $\triangle CBD$ — сторона $CB$. Таким образом, $AB = CB$.
Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике биссектриса является и высотой, то этот треугольник равнобедренный. Доказательство основано на том, что такая биссектриса-высота делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются боковыми сторонами исходного треугольника.