Номер 139, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 139, страница 42.

139 Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

Из условия задачи нам дано, что основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого. Пусть это будут основание $AC$ и угол $\angle BAC$ треугольника $\triangle ABC$, и основание $A_1C_1$ и угол $\angle B_1A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Таким образом, мы имеем:

1. $AC = A_1C_1$

2. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно:

- для $\triangle ABC$ верно, что $\angle BAC = \angle BCA$.

- для $\triangle A_1B_1C_1$ верно, что $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

Так как по условию $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$, то из равенств углов при основании следует, что и вторые углы при основании у этих треугольников также равны между собой:

$\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У нас есть:

- Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (по условию).

- Прилежащий к стороне $AC$ угол $\angle BAC$ равен прилежащему к стороне $A_1C_1$ углу $\angle B_1A_1C_1$ (по условию).

- Другой прилежащий к стороне $AC$ угол $\angle BCA$ равен прилежащему к стороне $A_1C_1$ углу $\angle B_1C_1A_1$ (как было доказано выше).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.