Номер 145, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 145, страница 42.

145 В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, AB = А₁В₁, АС = А₁С₁. Докажите, что △ABС = △A₁B₁C₁.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ используем данные задачи: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и равенство медиан $BM = B_1M_1$.

По определению, медиана $BM$ проведена к середине стороны $AC$, следовательно, точка $M$ делит $AC$ пополам, и $AM = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, медиана $B_1M_1$ проведена к середине стороны $A_1C_1$, поэтому $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Так как по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. В этих треугольниках имеется три пары равных сторон: $AB = A_1B_1$ (по условию), $BM = B_1M_1$ (по условию), и $AM = A_1M_1$ (как показано выше). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$. Этот угол совпадает с углом $\angle BAC$, а угол $\angle B_1A_1M_1$ совпадает с углом $\angle B_1A_1C_1$. Таким образом, мы доказали, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем: $AB = A_1B_1$ (по условию), $AC = A_1C_1$ (по условию), и угол между этими сторонами $\angle BAC$ равен углу $\angle B_1A_1C_1$ (что было доказано). Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.