Страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

134 Отрезки АС и BD пересекаются в середине отрезка AC, точке О, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что △BОА = △DОС.

Рассмотрим треугольники $ \triangle BOA $ и $ \triangle DOC $. Чтобы доказать их равенство, сравним их соответствующие элементы на основе данных из условия задачи.

Мы можем установить следующие равенства:

• $ AO = OC $. Это следует из условия, что точка $ O $ является серединой отрезка $ AC $.
• $ \angle BOA = \angle DOC $. Эти углы являются вертикальными, образованными при пересечении отрезков $ AC $ и $ BD $, и по свойству вертикальных углов они равны.
• $ \angle OAB = \angle OCD $. Это следует из условия, что $ \angle DAO = \angle BCO $. Так как точки $ A, O, C $ лежат на одной прямой, угол $ \angle DAO $ совпадает с углом $ \angle OAB $, а угол $ \angle BCO $ совпадает с углом $ \angle OCD $.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ \triangle BOA $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ \triangle DOC $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $ \triangle BOA = \triangle DOC $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \triangle BOA = \triangle DOC $ доказано на основании второго признака равенства треугольников, так как $ AO = OC $ (по условию, O — середина AC), $ \angle OAB = \angle OCD $ (по условию, $ \angle DAO = \angle BCO $) и $ \angle BOA = \angle DOC $ (как вертикальные углы).

135 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ отрезки СО и С₁О₁ — медианы, ВС = В₁С₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что:

а) △АСО = △А₁С₁О₁;

б) △ВСО = △В₁С₁О₁.

Для решения задачи сначала докажем равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, в этих треугольниках сторона и два прилежащих к ней угла равны: $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$. Из этого равенства следует, что и другие соответствующие элементы этих треугольников равны: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

а) Рассмотрим треугольники $ACO$ и $A_1C_1O_1$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
1. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$), так как это соответствующие стороны равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
2. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ ($\angle A = \angle A_1$) по той же причине.
3. По условию, $CO$ и $C_1O_1$ являются медианами. Это значит, что $O$ — середина стороны $AB$, а $O_1$ — середина стороны $A_1B_1$. Следовательно, $AO = \frac{1}{2}AB$ и $A_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Так как мы уже установили, что $AB = A_1B_1$, то и их половины равны, то есть $AO = A_1O_1$.
Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ACO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1C_1O_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta ACO = \Delta A_1C_1O_1$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Рассмотрим треугольники $BCO$ и $B_1C_1O_1$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
1. Сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$) по условию задачи.
2. Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ ($\angle B = \angle B_1$) по условию задачи.
3. Как было показано выше, $O$ и $O_1$ — середины равных сторон $AB$ и $A_1B_1$ соответственно, так как $CO$ и $C_1O_1$ — медианы. Следовательно, отрезки $BO$ и $B_1O_1$ как половины равных сторон также равны: $BO = \frac{1}{2}AB$ и $B_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$, откуда $BO = B_1O_1$.
Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $BCO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $B_1C_1O_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta BCO = \Delta B_1C_1O_1$.
Ответ: Утверждение доказано.

136 В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

Рассмотрим треугольники $DEF$ и $MNP$. По условию задачи нам дано, что $EF = NP$, $DF = MP$ и угол между этими сторонами $\angle F = \angle P$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle DEF = \triangle MNP$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов: $\angle D = \angle M$ и $\angle E = \angle N$.

Рассмотрим $\triangle DOE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle DOE = 180^\circ - (\angle ODE + \angle OED)$. Так как $DO$ и $EO$ являются биссектрисами углов $D$ и $E$ соответственно, то $\angle ODE = \frac{1}{2}\angle D$ и $\angle OED = \frac{1}{2}\angle E$. Подставив эти значения, получаем:$\angle DOE = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle D + \frac{1}{2}\angle E) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle E)$.

Аналогично рассмотрим $\triangle MKN$. Сумма его углов также равна $180^\circ$, поэтому $\angle MKN = 180^\circ - (\angle KMN + \angle KNM)$. Так как $MK$ и $NK$ являются биссектрисами углов $M$ и $N$ соответственно, то $\angle KMN = \frac{1}{2}\angle M$ и $\angle KNM = \frac{1}{2}\angle N$. Подставив эти значения, получаем:$\angle MKN = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle M + \frac{1}{2}\angle N) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.

Так как мы ранее установили, что $\angle D = \angle M$ и $\angle E = \angle N$, то сумма углов $(\angle D + \angle E)$ равна сумме углов $(\angle M + \angle N)$. Следовательно, равны и их половины: $\frac{1}{2}(\angle D + \angle E) = \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.

Сравнивая выражения для углов $\angle DOE$ и $\angle MKN$, видим, что они равны:$180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle E) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.Таким образом, $\angle DOE = \angle MKN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DOE = \angle MKN$ доказано.

137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Пусть дан угол с вершиной в точке A. Пусть `AL` — биссектриса этого угла. Прямая `MN` пересекает стороны угла в точках `M` и `N` и перпендикулярна биссектрисе `AL`. Обозначим точку их пересечения как `K`. Таким образом, $AL \perp MN$.

Рассмотрим треугольник `AMN`. В этом треугольнике отрезок `AK` является частью биссектрисы `AL` угла `A`, следовательно, `AK` — биссектриса угла `MAN`.

Также, по условию, прямая `MN` перпендикулярна биссектрисе `AL`. Это означает, что `AK` является высотой треугольника `AMN`, проведенной к стороне `MN`, так как $?AKM = 90°$.

Таким образом, в треугольнике `AMN` отрезок `AK` является одновременно и биссектрисой, и высотой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle AKM $ и $ \triangle AKN $.

1. $AK$ — общая сторона.
2. $?MAK = ?NAK$, так как `AL` — биссектриса угла `A`.
3. $?AKM = ?AKN = 90°$, так как по условию $MN \perp AL$.

Следовательно, $ \triangle AKM = \triangle AKN $ по второму признаку равенства треугольников (по катету и прилежащему острому углу в прямоугольных треугольниках, что эквивалентно признаку "по стороне и двум прилежащим углам" для произвольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = AN$.

Поскольку в треугольнике `AMN` две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник AMN является равнобедренным, так как высота, проведенная из вершины A к стороне MN, является также и биссектрисой угла A, что является признаком равнобедренного треугольника.

138 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Дано:
В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно биссектрисой и высотой. Это значит, что:
1. $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD$.
2. $BD$ перпендикулярен стороне $AC$: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно $AB = CB$.

Доказательство:
Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник $ABC$.
Поскольку $BD$ является высотой, то оба этих треугольника — прямоугольные.
Сравним эти прямоугольные треугольники:
- У них есть общий катет $BD$.
- Прилежащие к этому катету острые углы равны: $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, гипотенузы этих треугольников равны. Гипотенузой в $\triangle ABD$ является сторона $AB$, а в $\triangle CBD$ — сторона $CB$. Таким образом, $AB = CB$.
Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике биссектриса является и высотой, то этот треугольник равнобедренный. Доказательство основано на том, что такая биссектриса-высота делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются боковыми сторонами исходного треугольника.

139 Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

Из условия задачи нам дано, что основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого. Пусть это будут основание $AC$ и угол $\angle BAC$ треугольника $\triangle ABC$, и основание $A_1C_1$ и угол $\angle B_1A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Таким образом, мы имеем:

1. $AC = A_1C_1$

2. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно:

- для $\triangle ABC$ верно, что $\angle BAC = \angle BCA$.

- для $\triangle A_1B_1C_1$ верно, что $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

Так как по условию $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$, то из равенств углов при основании следует, что и вторые углы при основании у этих треугольников также равны между собой:

$\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У нас есть:

- Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (по условию).

- Прилежащий к стороне $AC$ угол $\angle BAC$ равен прилежащему к стороне $A_1C_1$ углу $\angle B_1A_1C_1$ (по условию).

- Другой прилежащий к стороне $AC$ угол $\angle BCA$ равен прилежащему к стороне $A_1C_1$ углу $\angle B_1C_1A_1$ (как было доказано выше).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.

140 Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два равносторонних треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ — равносторонний.
2. $\triangle A_1B_1C_1$ — равносторонний.
3. Сторона одного треугольника равна стороне другого. Пусть $AB = A_1B_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. По определению, у равностороннего треугольника все стороны равны.

2. Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний, то его стороны равны между собой: $AB = BC = AC$.

3. Аналогично, поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ — равносторонний, то $A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1$.

4. Из условия задачи известно, что $AB = A_1B_1$.

5. Сопоставим стороны двух треугольников. Из равенств, приведенных выше, следует:
$AB = A_1B_1$ (по условию).
$BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$, следовательно $BC = B_1C_1$.
$AC = AB$ и $A_1C_1 = A_1B_1$, следовательно $AC = A_1C_1$.

6. Таким образом, мы установили, что три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

7. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого, то из определения равностороннего треугольника следует, что все три стороны первого треугольника соответственно равны трем сторонам второго. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), такие треугольники равны.

141 В треугольниках ABD и ACD AB = AC, BD = DC, точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Найдите угол CAD, если ∠BAC = 50°.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

По условию задачи дано, что сторона $AB = AC$ и сторона $BD = DC$. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle BAD$ в треугольнике $ABD$ и угол $\angle CAD$ в треугольнике $ACD$ лежат напротив равных сторон $BD$ и $DC$ соответственно. Таким образом, эти углы равны: $\angle BAD = \angle CAD$.

Так как точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AD$, луч $AD$ проходит между сторонами угла $\angle BAC$. Это означает, что угол $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle BAD$ и $\angle CAD$:
$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$.

Поскольку мы установили, что $\angle BAD = \angle CAD$, мы можем записать:
$\angle BAC = \angle CAD + \angle CAD = 2 \cdot \angle CAD$.

По условию $\angle BAC = 50^\circ$. Подставим это значение в полученное равенство:
$50^\circ = 2 \cdot \angle CAD$.

Отсюда выразим и найдем искомый угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

142 В треугольниках ABC и ADC BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D. Рассмотрите разные случаи расположения точек B и D.

Для доказательства равенства углов $\angle B$ и $\angle D$ рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. По условию задачи даны следующие равенства сторон: $BC = AD$ и $AB = CD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Доказательство основывается на признаке равенства треугольников по трем сторонам. Необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точек B и D относительно прямой AC.

Случай 1: Точки B и D расположены по разные стороны от прямой AC.

В этом случае точки A, B, C, D образуют четырехугольник, а отрезок AC является его диагональю. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их стороны: $AB = CD$ (по условию), $BC = DA$ (по условию), $AC$ – общая сторона. Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle B$ лежит против стороны $AC$. В треугольнике $\triangle CDA$ угол $\angle D$ лежит против стороны $CA$. Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны.

Следовательно, $\angle B = \angle D$.

Ответ: $\angle B = \angle D$.

Случай 2: Точки B и D расположены по одну сторону от прямой AC.

В этом случае треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ находятся по одну сторону от их общей стороны $AC$. Снова сравним стороны этих треугольников: $AB = CD$ (по условию), $BC = DA$ (по условию), $AC$ – общая сторона. Как и в первом случае, на основании третьего признака равенства треугольников, мы заключаем, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ является соответствующим углу $\angle D$ в $\triangle CDA$, так как они лежат против общей стороны $AC$ ($CA$).

Таким образом, $\angle B = \angle D$.

Ответ: $\angle B = \angle D$.

143 На рисунке 81 AB=CD и BD=AC. Докажите, что:

a) ∠CAD = ∠ADB;

б) ∠BAC = ∠CDB.

а) Для доказательства равенства углов $?CAD$ и $?ADB$ рассмотрим треугольники $?ACD$ и $?DBA$.

В этих треугольниках:

1. $AC = DB$ (по условию задачи).

2. $CD = BA$ (по условию задачи).

3. $AD$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $?ACD \cong ?DBA$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $?ACD$ против стороны $CD$ лежит угол $?CAD$. В треугольнике $?DBA$ против равной ей стороны $BA$ лежит угол $?ADB$. Поэтому $?CAD = ?ADB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства равенства углов $?BAC$ и $?CDB$ рассмотрим треугольники $?ABC$ и $?DCB$.

В этих треугольниках:

1. $AB = DC$ (по условию задачи).

2. $AC = DB$ (по условию задачи).

3. $BC$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $?ABC \cong ?DCB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $?BAC$ в треугольнике $?ABC$ образован сторонами $AB$ и $AC$. Угол $?CDB$ в треугольнике $?DCB$ образован сторонами $DC$ и $DB$. Так как стороны $AB$ и $AC$ соответственно равны сторонам $DC$ и $DB$, то и углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Таким образом, $?BAC = ?CDB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

144 На рисунке 82 AB=CD, AD=ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:

а) ∠ABE = ∠ADF;

б) △ABE = △CDF.

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Таким образом, $\angle ABC = \angle ADC$.

Из условия известно, что $BE$ — биссектриса угла $ABC$. Это означает, что она делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2} \angle ABC$.

Также по условию $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Это означает, что она делит угол $ADC$ на два равных угла: $\angle ADF = \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC$.

Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то и половины этих углов равны между собой:

$\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC$

Отсюда следует, что $\angle ABE = \angle ADF$.

Ответ: Доказано.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$. Чтобы доказать их равенство, сравним их соответствующие элементы, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Сторона: По условию задачи $AB = CD$.

2. Прилежащий угол №1: Как было установлено в пункте а), $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Поэтому $\angle BAC = \angle DCA$. В рассматриваемых треугольниках эти углы — $\angle BAE$ и $\angle DCF$. Значит, $\angle BAE = \angle DCF$.

3. Прилежащий угол №2: В пункте а) было доказано, что $\angle ABC = \angle ADC$. Так как $BE$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABC$. Так как $DF$ — биссектриса угла $ADC$, то $\angle CDF = \frac{1}{2}\angle ADC$. Из равенства углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ следует равенство их половин: $\angle ABE = \angle CDF$.

Таким образом, мы имеем следующие равенства для треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$:

• $AB = CD$ (сторона)
• $\angle BAE = \angle DCF$ (прилежащий угол)
• $\angle ABE = \angle CDF$ (прилежащий угол)

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то по второму признаку равенства треугольников (ASA) $\triangle ABE = \triangle CDF$.

Ответ: Доказано.

145 В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, AB = А₁В₁, АС = А₁С₁. Докажите, что △ABС = △A₁B₁C₁.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ используем данные задачи: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и равенство медиан $BM = B_1M_1$.

По определению, медиана $BM$ проведена к середине стороны $AC$, следовательно, точка $M$ делит $AC$ пополам, и $AM = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, медиана $B_1M_1$ проведена к середине стороны $A_1C_1$, поэтому $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Так как по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. В этих треугольниках имеется три пары равных сторон: $AB = A_1B_1$ (по условию), $BM = B_1M_1$ (по условию), и $AM = A_1M_1$ (как показано выше). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$. Этот угол совпадает с углом $\angle BAC$, а угол $\angle B_1A_1M_1$ совпадает с углом $\angle B_1A_1C_1$. Таким образом, мы доказали, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем: $AB = A_1B_1$ (по условию), $AC = A_1C_1$ (по условию), и угол между этими сторонами $\angle BAC$ равен углу $\angle B_1A_1C_1$ (что было доказано). Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.