Страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

117 На рисунке 73, а) AB = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB=BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его основанием служит сторона $AC$.

Угол $\angle 1$ является внешним углом треугольника при вершине $C$. Он смежен с внутренним углом $\angle BCA$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Используя это свойство, мы можем найти величину угла $\angle BCA$:

$\angle BCA = 180^\circ - \angle 1$

Подставив известное значение $\angle 1 = 130^\circ$, получаем:

$\angle BCA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для треугольника $ABC$ с основанием $AC$ это означает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Следовательно, $\angle BAC = 50^\circ$.

Угол $\angle 2$ является внешним углом треугольника при вершине $A$. Он смежен с внутренним углом $\angle BAC$. Их сумма также равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle 2$:

$\angle 2 = 180^\circ - \angle BAC$

Подставив найденное значение $\angle BAC = 50^\circ$, получаем:

$\angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

Ответ: $130^\circ$.

118 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ.

а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM;

б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

а) Для того чтобы доказать, что $?OMP = ?OPM$, достаточно доказать, что треугольник $?MOP$ является равнобедренным, то есть что стороны $OM$ и $OP$ равны.
Рассмотрим треугольники $?MNO$ и $?PQO$.
По условию, $MN$ и $PQ$ — перпендикуляры к прямой $b$, следовательно, $?MNO = 90°$ и $?PQO = 90°$. Таким образом, треугольники $?MNO$ и $?PQO$ являются прямоугольными.
В этих треугольниках:
1. Катет $MN = PQ$ (по условию).
2. Точка $O$ — середина отрезка $NQ$, следовательно, катет $NO = OQ$.
Треугольники $?MNO$ и $?PQO$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. В частности, равны их гипотенузы: $OM = OP$.
Поскольку в треугольнике $?MOP$ две стороны равны ($OM=OP$), он является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $?OMP = ?OPM$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: утверждение доказано.

б) Из равенства треугольников $?MNO ? ?PQO$, доказанного в пункте а), следует равенство их соответствующих углов: $?NOM = ?POQ$.
Точки $N$, $O$ и $Q$ лежат на одной прямой $b$, поэтому угол $?NOQ$ является развернутым и его градусная мера равна $180°$.
Так как точки $M$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $b$, развернутый угол $?NOQ$ состоит из суммы трех углов: $?NOM$, $?MOP$ и $?POQ$.
Мы можем записать равенство: $?NOM + ?MOP + ?POQ = 180°$.
Обозначим $?NOM$ через $x$. Тогда $?POQ$ также равен $x$. По условию $?MOP = 105°$.
Подставим значения в уравнение:
$x + 105° + x = 180°$
$2x + 105° = 180°$
$2x = 180° - 105°$
$2x = 75°$
$x = \frac{75°}{2}$
$x = 37,5°$
Таким образом, $?NOM = 37,5°$.
Ответ: 37,5°.

119 Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Из условия равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) следует равенство их соответствующих сторон и углов: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, и $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведём медиану $BM$ к стороне $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$ и медиану $B_1M_1$ к соответствующей равной ей стороне $A_1C_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. Наша задача — доказать, что $BM = B_1M_1$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Сравним их элементы:
1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
2. Сторона $AM$ равна стороне $A_1M_1$ (как было показано выше).
3. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

Таким образом, треугольник $\triangle ABM$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует, что их соответствующие стороны равны. В частности, сторона $BM$ треугольника $\triangle ABM$ равна соответствующей стороне $B_1M_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$. Следовательно, $BM = B_1M_1$.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

120 Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, отрезок $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, следовательно, $BM = MC$.

В условии также сказано, что медиана $AM$ равна отрезку $BM$, то есть $AM = BM$.

Объединив эти два равенства, мы получаем, что три отрезка равны между собой: $AM = BM = MC$.

Это равенство позволяет нам рассмотреть два равнобедренных треугольника внутри исходного треугольника $ABC$.

1. Треугольник $ABM$. В этом треугольнике стороны $AM$ и $BM$ равны ($AM = BM$), значит, он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAM = \angle ABM$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$. Таким образом, $\angle B = \angle ABM = \alpha$ и $\angle BAM = \alpha$.

2. Треугольник $AMC$. В этом треугольнике стороны $AM$ и $MC$ равны ($AM = MC$), значит, он также является равнобедренным, но с основанием $AC$. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $\angle MAC = \angle ACM$. Обозначим величину этих углов как $\beta$. Таким образом, $\angle C = \angle ACM = \beta$ и $\angle MAC = \beta$.

Теперь рассмотрим углы исходного треугольника $ABC$:

• Угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$. Таким образом, $\angle A = \angle BAM + \angle MAC = \alpha + \beta$.
• Угол при вершине $B$ ($\angle ABC$) равен $\angle ABM$, то есть $\angle B = \alpha$.
• Угол при вершине $C$ ($\angle ACB$) равен $\angle ACM$, то есть $\angle C = \beta$.

Сравним угол $A$ с суммой углов $B$ и $C$.

Сумма углов $B$ и $C$ равна: $\angle B + \angle C = \alpha + \beta$.

Мы видим, что величина угла $A$ также равна $\alpha + \beta$.

Следовательно, мы доказали, что $\angle A = \angle B + \angle C$, то есть один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов, что и требовалось доказать.

Дополнительное замечание: из теоремы о сумме углов треугольника мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставив в это равенство $\angle A = \angle B + \angle C$, получим $\angle A + \angle A = 180^\circ$, или $2\angle A = 180^\circ$, откуда $\angle A = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: Доказано, что угол треугольника при вершине $A$ ($\angle BAC$) равен сумме двух других его углов ($\angle ABC + \angle ACB$).

121 Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Рассмотрим равносторонний треугольник, назовем его вершины $A$, $B$ и $C$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Для нашего треугольника $ABC$ это означает, что $AB = BC = AC$.

Доказательство основано на свойстве равнобедренного треугольника, которое гласит, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Равносторонний треугольник можно рассматривать как частный случай равнобедренного.

1. Так как сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$), то треугольник $ABC$ можно считать равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны, то есть $?A = ?C$.

2. Так как сторона $BC$ равна стороне $AC$ ($BC = AC$), то треугольник $ABC$ можно считать равнобедренным с основанием $AB$. По тому же свойству, углы при основании $AB$ равны, то есть $?B = ?A$.

Из полученных равенств $?A = ?C$ и $?B = ?A$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $?A = ?B = ?C$.

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Ответ: Утверждение доказано: в равностороннем треугольнике все углы равны.

122 На рисунке 73, б) AB=ВС, CD=DE. Докажите, что ∠BAC=∠CED.

б)

Для доказательства равенства углов $\angle BAC$ и $\angle CED$ рассмотрим два треугольника, изображенных на рисунке: $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, его стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$ в этом треугольнике:

$\angle BAC = \angle BCA$

2. Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. По условию, его стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Это означает, что $\triangle CDE$ также является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол при вершине $C$ равен углу при вершине $E$ в этом треугольнике:

$\angle DCE = \angle CED$

3. На рисунке видно, что точки $A$, $C$ и $E$ лежат на одной прямой. Точки $B$, $C$ и $D$, судя по изображению, также лежат на одной прямой, которая пересекает прямую $AE$ в точке $C$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ образованы пересечением этих двух прямых. Такие углы называются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны:

$\angle BCA = \angle DCE$

4. Сопоставим все полученные равенства:

• Из пункта 1: $\angle BAC = \angle BCA$
• Из пункта 3: $\angle BCA = \angle DCE$
• Из пункта 2: $\angle DCE = \angle CED$

Используя свойство транзитивности (если первая величина равна второй, а вторая равна третьей, то первая равна третьей), мы можем составить цепочку равенств: $\angle BAC = \angle BCA = \angle DCE = \angle CED$. Отсюда напрямую следует, что:

$\angle BAC = \angle CED$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle BAC = \angle CED$ следует из того, что оба треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle CDE$) являются равнобедренными, а углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ равны как вертикальные.

123 На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:

а) △ВАМ = △CAN;

б) треугольник AMN равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. По свойству равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании равны ($\angle ABC = \angle ACB$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$.

В этих треугольниках:

1. $AB = AC$, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.

2. $BM = CN$ по условию задачи.

3. $\angle ABM = \angle ACN$ (или $\angle B = \angle C$) как углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство $\triangle BAM = \triangle CAN$ доказано.

Из равенства треугольников $\triangle BAM = \triangle CAN$, доказанного в пункте а), следует равенство их соответствующих элементов.

В частности, сторона $AM$ треугольника $\triangle BAM$ равна соответствующей ей стороне $AN$ треугольника $\triangle CAN$. Таким образом, получаем, что $AM = AN$.

Согласно определению, треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Поскольку в треугольнике $AMN$ стороны $AM$ и $AN$ равны, он является равнобедренным.

Ответ: Доказано, что треугольник $AMN$ является равнобедренным.

124 В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

В равнобедренном треугольнике $DEK$ с основанием $DK$, биссектриса $EF$, проведенная из вершины $E$ к основанию, обладает особыми свойствами. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

KF
Так как биссектриса $EF$ является также медианой, она делит основание $DK$ на два равных отрезка: $DF$ и $KF$.
Следовательно, точка $F$ — середина отрезка $DK$.
Длина отрезка $KF$ равна половине длины основания $DK$.
$KF = \frac{1}{2} \times DK = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ см.
Ответ: $KF = 8$ см.

?DEK
По определению, биссектриса $EF$ делит угол $DEK$ на два равных угла: $\angle DEF$ и $\angle KEF$.
Значит, $\angle DEK = \angle DEF + \angle KEF = 2 \times \angle DEF$.
По условию дано, что $\angle DEF = 43^\circ$.
Следовательно, $\angle DEK = 2 \times 43^\circ = 86^\circ$.
Ответ: $\angle DEK = 86^\circ$.

?EFD
Так как биссектриса $EF$ в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также высотой, то она перпендикулярна основанию $DK$.
Это означает, что угол, образованный высотой $EF$ и основанием $DK$, является прямым.
Следовательно, $\angle EFD = 90^\circ$.
Ответ: $\angle EFD = 90^\circ$.

125 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах AB и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, что: a) △BDE = △BDF; б) △ADE = △CDF.

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $BDF$.
1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AB = CB$.
2. Также по условию на сторонах $AB$ и $CB$ отмечены точки $E$ и $F$ таким образом, что $AE = CF$.
3. Выразим длины отрезков $BE$ и $BF$. $BE = AB - AE$ и $BF = CB - CF$. Учитывая, что $AB = CB$ и $AE = CF$, получаем, что $BE = BF$.
4. BD — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является биссектрисой угла, из вершины которого она проведена. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а это значит, что $\angle EBD = \angle FBD$.
5. Сторона $BD$ — общая для треугольников $BDE$ и $BDF$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $BDE$ и $BDF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $BE = BF$ (как было доказано);
• $\angle EBD = \angle FBD$ (поскольку BD — биссектриса);
• $BD$ — общая сторона.

Из этого следует, что $\triangle BDE = \triangle BDF$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BDE$ и $\triangle BDF$ доказано.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CDF$.
1. Поскольку $BD$ — медиана, проведённая к стороне $AC$, она делит эту сторону на два равных отрезка: $AD = DC$.
2. По условию задачи $AE = CF$.
3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle DAE$ — это то же самое, что и угол $\angle BAC$, а угол $\angle DCF$ — то же самое, что и угол $\angle BCA$. Таким образом, $\angle DAE = \angle DCF$.

Теперь сравним треугольники $ADE$ и $CDF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $AE = CF$ (по условию);
• $\angle DAE = \angle DCF$ (как углы при основании равнобедренного треугольника);
• $AD = DC$ (поскольку BD — медиана).

Из этого следует, что $\triangle ADE = \triangle CDF$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle CDF$ доказано.