Номер 122, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 122, страница 38.

122 На рисунке 73, б) AB=ВС, CD=DE. Докажите, что ∠BAC=∠CED.

б)

Для доказательства равенства углов $\angle BAC$ и $\angle CED$ рассмотрим два треугольника, изображенных на рисунке: $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, его стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$ в этом треугольнике:

$\angle BAC = \angle BCA$

2. Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. По условию, его стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Это означает, что $\triangle CDE$ также является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол при вершине $C$ равен углу при вершине $E$ в этом треугольнике:

$\angle DCE = \angle CED$

3. На рисунке видно, что точки $A$, $C$ и $E$ лежат на одной прямой. Точки $B$, $C$ и $D$, судя по изображению, также лежат на одной прямой, которая пересекает прямую $AE$ в точке $C$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ образованы пересечением этих двух прямых. Такие углы называются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны:

$\angle BCA = \angle DCE$

4. Сопоставим все полученные равенства:

• Из пункта 1: $\angle BAC = \angle BCA$
• Из пункта 3: $\angle BCA = \angle DCE$
• Из пункта 2: $\angle DCE = \angle CED$

Используя свойство транзитивности (если первая величина равна второй, а вторая равна третьей, то первая равна третьей), мы можем составить цепочку равенств: $\angle BAC = \angle BCA = \angle DCE = \angle CED$. Отсюда напрямую следует, что:

$\angle BAC = \angle CED$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle BAC = \angle CED$ следует из того, что оба треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle CDE$) являются равнобедренными, а углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ равны как вертикальные.