Номер 129, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 129, страница 41.

129 По данным рисунка 79 докажите, что ОР=ОТ, ∠P=∠T.

Рассмотрим треугольники $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$. Чтобы доказать, что $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$, установим равенство этих треугольников, исходя из данных, представленных на рисунке.

Проанализируем известные элементы этих треугольников:

1. $CO = BO$. На рисунке эти отрезки отмечены одинаковыми короткими штрихами, что по соглашению означает их равенство.

2. $\angle TCO = 90^{\circ}$ и $\angle PBO = 90^{\circ}$. Углы при вершинах $C$ и $B$ отмечены символами прямого угла (квадратиками). Это означает, что треугольники $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$ являются прямоугольными.

3. $\angle TOC = \angle POB$. Эти углы являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $TP$ и $CB$. По свойству вертикальных углов, они равны.

Таким образом, мы имеем два треугольника, у которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($CO=BO$, $\angle TCO=\angle PBO$, $\angle TOC=\angle POB$).

Следовательно, $\triangle TCO \cong \triangle PBO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для прямоугольных треугольников этот признак также известен как признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

- Соответствующие стороны (гипотенузы) равны: $OT = OP$.

- Соответствующие углы равны: $\angle T = \angle P$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$ следует из равенства треугольников $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как $CO=BO$ (по условию), $\angle TCO = \angle PBO = 90^{\circ}$ (по условию), и $\angle TOC = \angle POB$ (как вертикальные углы).