Номер 125, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 125, страница 38.

125 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах AB и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, что: a) △BDE = △BDF; б) △ADE = △CDF.

а)

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $BDF$.
1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AB = CB$.
2. Также по условию на сторонах $AB$ и $CB$ отмечены точки $E$ и $F$ таким образом, что $AE = CF$.
3. Выразим длины отрезков $BE$ и $BF$. $BE = AB - AE$ и $BF = CB - CF$. Учитывая, что $AB = CB$ и $AE = CF$, получаем, что $BE = BF$.
4. BD — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является биссектрисой угла, из вершины которого она проведена. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а это значит, что $\angle EBD = \angle FBD$.
5. Сторона $BD$ — общая для треугольников $BDE$ и $BDF$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $BDE$ и $BDF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $BE = BF$ (как было доказано);
• $\angle EBD = \angle FBD$ (поскольку BD — биссектриса);
• $BD$ — общая сторона.

Из этого следует, что $\triangle BDE = \triangle BDF$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BDE$ и $\triangle BDF$ доказано.

б)

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CDF$.
1. Поскольку $BD$ — медиана, проведённая к стороне $AC$, она делит эту сторону на два равных отрезка: $AD = DC$.
2. По условию задачи $AE = CF$.
3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle DAE$ — это то же самое, что и угол $\angle BAC$, а угол $\angle DCF$ — то же самое, что и угол $\angle BCA$. Таким образом, $\angle DAE = \angle DCF$.

Теперь сравним треугольники $ADE$ и $CDF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $AE = CF$ (по условию);
• $\angle DAE = \angle DCF$ (как углы при основании равнобедренного треугольника);
• $AD = DC$ (поскольку BD — медиана).

Из этого следует, что $\triangle ADE = \triangle CDF$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle CDF$ доказано.