Номер 127, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 127, страница 41.

127 На рисунке 59 (см. с. 32) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что △ABC=△CDA;

б) найдите AB и ВС, если AD=19см, CD=11см.

а) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Для доказательства их равенства сравним их элементы на основе данных из условия задачи:

1. $\angle 1 = \angle 2$. На рисунке эти углы соответствуют углам $\angle BCA$ и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle BCA = \angle DAC$.
2. $\angle 3 = \angle 4$. Эти углы соответствуют углам $\angle BAC$ и $\angle DCA$. Таким образом, $\angle BAC = \angle DCA$.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $\triangle ABC$ (сторона $AC$, углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $\triangle CDA$ (сторона $CA$, углы $\angle DCA$ и $\angle DAC$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle CDA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по второму признаку равенства треугольников, так как сторона $AC$ у них общая, а прилежащие к ней углы соответственно равны по условию ($\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$).

б) найдите $AB$ и $BC$, если $AD = 19$ см, $CD = 11$ см

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ следует равенство их соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, которые лежат напротив равных углов.

• Сторона $AB$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$ ($\angle 1$). В равном ему треугольнике $\triangle CDA$ напротив равного угла $\angle DAC$ ($\angle 2$) лежит сторона $CD$. Следовательно, $AB = CD$.
• Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$ ($\angle 3$). В равном ему треугольнике $\triangle CDA$ напротив равного угла $\angle DCA$ ($\angle 4$) лежит сторона $AD$. Следовательно, $BC = AD$.

По условию задачи даны длины сторон $AD = 19$ см и $CD = 11$ см.

Используя полученные равенства, находим искомые стороны:

$AB = CD = 11$ см.

$BC = AD = 19$ см.

Ответ: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.