Номер 133, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 133, страница 41.

133 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Из условия $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует, что их соответственные стороны и углы равны:

• $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведем в этих треугольниках биссектрисы к соответственно равным сторонам. Для примера выберем пару соответственных сторон $AC$ и $A_1C_1$. Биссектриса, проведенная к стороне $AC$, выходит из вершины $B$. Обозначим ее $BD$. Соответственно, биссектриса, проведенная к стороне $A_1C_1$, выходит из вершины $B_1$. Обозначим ее $B_1D_1$.

Требуется доказать, что биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ равны, то есть $BD = B_1D_1$.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$ по условию равенства исходных треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).
2. Угол $\angle BAD$ (который является углом $\angle A$) равен углу $\angle B_1A_1D_1$ (который является углом $\angle A_1$), так как это соответственные углы в равных треугольниках.
3. Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$, поэтому $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, отрезок $B_1D_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Мы установили, что сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $\angle BAD$ и $\angle ABD$ в первом треугольнике соответственно равны стороне $A_1B_1$ и прилежащим к ней углам $\angle B_1A_1D_1$ и $\angle A_1B_1D_1$ во втором треугольнике.

Поскольку треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ равны, то равны и их соответственные стороны. Сторона $BD$ лежит напротив угла $\angle BAD$, а сторона $B_1D_1$ — напротив равного ему угла $\angle B_1A_1D_1$. Следовательно, эти стороны являются соответственными и, значит, равны: $BD = B_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.