Номер 132, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 132, страница 41.

132 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ AB = А₁В₁, ВС = В₁С₁, ∠В = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), отсюда следует, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $D_1$ на стороне $A_1B_1$, луч $CD$ проходит между лучами $CA$ и $CB$, а луч $C_1D_1$ — между лучами $C_1A_1$ и $C_1B_1$. Это означает, что угол $\angle BCA$ можно представить как сумму углов $\angle BCD$ и $\angle DCA$. То есть, $\angle BCA = \angle BCD + \angle DCA$. Отсюда можно выразить $\angle BCD = \angle BCA - \angle DCA$.

Аналогично для второго треугольника: $\angle B_1C_1A_1 = \angle B_1C_1D_1 + \angle D_1C_1A_1$, и, соответственно, $\angle B_1C_1D_1 = \angle B_1C_1A_1 - \angle D_1C_1A_1$.

По условию задачи также дано, что $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Так как мы уже доказали, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$, мы можем утверждать, что при вычитании равных углов ($\angle ACD$ и $\angle A_1C_1D_1$) из равных углов ($\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$) получаются равные углы. Следовательно:

$\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать: $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$. Сравним их известные элементы:

• $BC = B_1C_1$ (по условию).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию). Эти углы в рассматриваемых треугольниках являются углами $\angle CBD$ и $\angle C_1B_1D_1$.
• $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$ (как доказано выше).

Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ), $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.