Номер 136, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 136, страница 42.

136 В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

Рассмотрим треугольники $DEF$ и $MNP$. По условию задачи нам дано, что $EF = NP$, $DF = MP$ и угол между этими сторонами $\angle F = \angle P$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle DEF = \triangle MNP$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов: $\angle D = \angle M$ и $\angle E = \angle N$.

Рассмотрим $\triangle DOE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle DOE = 180^\circ - (\angle ODE + \angle OED)$. Так как $DO$ и $EO$ являются биссектрисами углов $D$ и $E$ соответственно, то $\angle ODE = \frac{1}{2}\angle D$ и $\angle OED = \frac{1}{2}\angle E$. Подставив эти значения, получаем:$\angle DOE = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle D + \frac{1}{2}\angle E) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle E)$.

Аналогично рассмотрим $\triangle MKN$. Сумма его углов также равна $180^\circ$, поэтому $\angle MKN = 180^\circ - (\angle KMN + \angle KNM)$. Так как $MK$ и $NK$ являются биссектрисами углов $M$ и $N$ соответственно, то $\angle KMN = \frac{1}{2}\angle M$ и $\angle KNM = \frac{1}{2}\angle N$. Подставив эти значения, получаем:$\angle MKN = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle M + \frac{1}{2}\angle N) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.

Так как мы ранее установили, что $\angle D = \angle M$ и $\angle E = \angle N$, то сумма углов $(\angle D + \angle E)$ равна сумме углов $(\angle M + \angle N)$. Следовательно, равны и их половины: $\frac{1}{2}(\angle D + \angle E) = \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.

Сравнивая выражения для углов $\angle DOE$ и $\angle MKN$, видим, что они равны:$180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle E) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle N)$.Таким образом, $\angle DOE = \angle MKN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DOE = \angle MKN$ доказано.