Номер 140, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 140, страница 42.

140 Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два равносторонних треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ — равносторонний.
2. $\triangle A_1B_1C_1$ — равносторонний.
3. Сторона одного треугольника равна стороне другого. Пусть $AB = A_1B_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. По определению, у равностороннего треугольника все стороны равны.

2. Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний, то его стороны равны между собой: $AB = BC = AC$.

3. Аналогично, поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ — равносторонний, то $A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1$.

4. Из условия задачи известно, что $AB = A_1B_1$.

5. Сопоставим стороны двух треугольников. Из равенств, приведенных выше, следует:
$AB = A_1B_1$ (по условию).
$BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$, следовательно $BC = B_1C_1$.
$AC = AB$ и $A_1C_1 = A_1B_1$, следовательно $AC = A_1C_1$.

6. Таким образом, мы установили, что три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

7. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого, то из определения равностороннего треугольника следует, что все три стороны первого треугольника соответственно равны трем сторонам второго. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), такие треугольники равны.