Номер 147, страница 43 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 147, страница 43.

147 Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = ОС.

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ADB $ и $ \triangle ACB $.
1. По условию, треугольник $ \triangle ADC $ равнобедренный с основанием $ DC $, следовательно, его боковые стороны равны: $ AD = AC $.
2. Аналогично, треугольник $ \triangle BCD $ равнобедренный с основанием $ DC $, следовательно, его боковые стороны равны: $ BD = BC $.
3. Сторона $ AB $ является общей для треугольников $ \triangle ADB $ и $ \triangle ACB $.
Таким образом, $ \triangle ADB \cong \triangle ACB $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, то есть $ \angle ADB = \angle ACB $.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим равнобедренный треугольник $ \triangle ADC $. Из доказательства в пункте а) следует, что $ \triangle ADB \cong \triangle ACB $, откуда получаем равенство соответствующих углов $ \angle DAB = \angle CAB $ (или $ \angle DAO = \angle CAO $).
Это означает, что отрезок $ AO $ является биссектрисой угла $ \angle DAC $, который является углом при вершине равнобедренного треугольника $ \triangle ADC $.
По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.
Следовательно, $ AO $ — медиана треугольника $ \triangle ADC $, проведенная к основанию $ DC $. По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам, значит, $ DO = OC $.

Ответ: Что и требовалось доказать.