Номер 152, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 152, страница 48.

152 На окружности с центром О отмечены точки A и B так, что угол AOB — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и АС равны.

Для доказательства равенства хорд $AB$ и $AC$ мы докажем, что треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.

1. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

2. Стороны $OB$ и $OC$ равны между собой, так как являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC$).

3. Теперь нам нужно сравнить углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$, которые являются углами между этими парами сторон в соответствующих треугольниках.

По условию, отрезок $BC$ является диаметром окружности. Это означает, что точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой, а угол $\angle BOC$ является развернутым, то есть его величина составляет $180^\circ$.

Угол $\angle BOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOB$ и $\angle AOC$. Следовательно, мы можем записать: $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC$.

Из условия задачи известно, что $\angle AOB$ — прямой, а значит $\angle AOB = 90^\circ$. Подставим это значение в наше равенство: $180^\circ = 90^\circ + \angle AOC$.

Из этого уравнения находим величину угла $\angle AOC$: $\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$.

Теперь мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) к треугольникам $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$:

• $AO$ — общая сторона;
• $OB = OC$ (как радиусы);
• $\angle AOB = \angle AOC$ (как было доказано выше).

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle AOC$ ($\triangle AOB \cong \triangle AOC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Хорда $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ соответствует хорде $AC$ в треугольнике $\triangle AOC$. Таким образом, $AB = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство хорд $AB$ и $AC$ доказано.